PH
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 7 2018
Lời giải:
Có: \(x^4+y^4+z^2+1\geq 2x(xy^2-x+z+1)\)
\(\Leftrightarrow x^4+y^4+z^2+1-2x^2y^2+2x^2-2xz-2x\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (x^4+y^4-2x^2y^2)+(z^2+x^2-2xz)+(x^2+1-2x)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (x^2-y^2)^2+(z-x)^2+(x-1)^2\geq 0\)
Điều trên luôn đúng do \((x^2-y^2)^2\geq 0; (z-x)^2\geq 0; (x-1)^2\geq 0\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} x^2-y^2=0\\ z-x=0\\ x-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1\\ z=1\\ y=\pm 1\end{matrix}\right.\)
17 tháng 8 2017
Câu a :
\(VT=\) \(\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)=x^3-1^3=VP\)
Câu b :
\(VT=\)\(\left(x^3+x^2y+xy^2+y^3\right)\left(x-y\right)=x^4-y^4=VP\)
Tương tự bạn khai triển là ra nhé
DX
Cho x > y > z
CMR : \(A=x^4\left(y-z\right)+y^4\left(z-x\right)+z^4\left(x-y\right)\) luôn luôn dương
1
2 tháng 11 2019
\(A=x^4\left(y-z\right)+y^4\left(z-x\right)+z^4\left(x-y\right)\)
\(A=x^4\left(y-z\right)+y^4\left(z-x\right)-z^4\left[\left(y-z\right)+\left(z-x\right)\right]\)
\(A=x^4\left(y-z\right)-z^4\left(y-z\right)+y^4\left(z-x\right)-z^4\left(z-x\right)\)
\(A=\left(y-z\right)\left(x^4-z^4\right)+\left(z-x\right)\left(y^4-z^4\right)\)
\(A=\left(y-z\right)\left(x-z\right)\left(x+z\right)\left(x^2+z^2\right)-\left(x-z\right)\left(y-z\right)\left(y+z\right)\left(y^2+z^2\right)\)
\(A=\left(y-z\right)\left(x-z\right)\left(x^3+xz^2+x^2z+z^3-y^3-yz^2-y^2z-z^3\right)\)
\(A=\left(y-z\right)\left(x-z\right)\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2+z^2+zx+yz\right)\)
\(A=\frac{1}{2}\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(x-z\right)\left[\left(x+y\right)^2+\left(y+z\right)^2+\left(z+x\right)^2\right]\)
Vì \(x>y>z\Rightarrow A>0\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 6 2020
\(P=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{2009}{xy+yz+zx}=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy+yz+zx}+\frac{1}{xy+yz+zx}+\frac{2007}{xy+yz+zx}\)
\(P\ge\frac{9}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}+\frac{2007}{\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2}\)
\(P\ge\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}+\frac{6021}{\left(x+y+z\right)^2}=\frac{6030}{\left(x+y+z\right)^2}\ge\frac{6030}{3^2}=670\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
OV
16 tháng 6 2020
Áp dụng BĐT Côsi dưới dạng engel, ta có:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}=\frac{9}{x+y+z}\)
⇒\(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\left(x+y+z\right)\ge\left(x+y+z\right).\frac{9}{x+y+z}\) = 9
Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y = z
26 tháng 4 2020
Ta có: \(x^2+y^2+z^2+t^2-xy-xz-xt\ge0\)(1)
<=> \(2x^2+2y^2+2z^2+2t^2-2xy-2xz-2xt\ge0\)
<=> \(\left(x^2+y^2+z^2-2xy-2xz+2yz\right)+\left(y^2+z^2-2yz\right)+\left(x^2-2xt+t^2\right)+t^2\ge0\)
<=> \(\left(x-y-z\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(x-t\right)^2+t^2\ge0\)đúng
=> (1) đúng
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 0
26 tháng 4 2020
Ta có: \(x^2+y^2+z^2+t^2\ge x\left(y+z+t\right)\)
<=> \(x^2+y^2+z^2+t^2-x\left(y+z+t\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+t^2-xy-xz-xt\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x^2}{4}-xy+y^2\right)+\left(\frac{x^2}{4}-xz+z^2\right)+\left(\frac{x^2}{4}-xt+t^2\right)+\frac{x^2}{4}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{2}-y\right)^2+\left(\frac{x}{2}-z\right)^2+\left(\frac{x}{2}-t\right)^2\ge0\)(BĐT đúng)
Vậy có: \(x^2+y^2+z^2+t^2\ge x\left(y+z+t\right)\)
Đẳng thức xảy ra <=> \(\left(\frac{x}{2}-y\right)^2=\left(\frac{x}{2}-z\right)^2=\left(\frac{x}{2}-t\right)^2=\frac{x^2}{4}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{2}-y=\frac{x}{2}-z=\frac{x}{2}-t=x=0\)
<=> x=y=z=t=0
AT
9 tháng 7 2018
a/\(\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)=x^3+x^2+x-x^2-x-1=x^3-1\left(đpcm\right)\)
b/ \(\left(x^3+x^2y+xy^2+y^3\right)\left(x-y\right)=x^4-x^3y+x^3y-x^2y^2+x^2y^2-xy^3+xy^3-y^4=x^4-y^4\left(đpcm\right)\)
c/ \(\left(x+y+z\right)^2=\left(x+y+z\right)\left(x+y+z\right)=x^2+xy+xz+y^2+xy+yz+z^2+zx+yz=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\left(đpcm\right)\)
d/ \(\left(x+y+z\right)^3=\left(x+y\right)^3+3\left(x+y\right)^2z+3z^2\left(x+y\right)+z^3\)
\(=\left(x+y\right)^3+3z\left(x^2+2xy+y^2\right)+3z^2\left(x+y\right)+z^3\)
\(=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3+3x^2z+6xyz+3y^2z+3z^2x+3yz^2+z^3\)
\(=x^3+y^3+z^3+3xyz+3x^2y+3xy^2+3x^2z+3y^2z+3y^2x+3yz^2+3xyz\)
\(=x^3+y^3+z^3+\left(x+z\right)\left(3xy+3xz+3y^2+3yz\right)\)
\(=x^3+y^3+z^3+\left(x+z\right)\left[3x\left(y+z\right)+3y\left(y+z\right)\right]\)
\(=x^3+y^3+z^3+\left(x+z\right)\left(y+z\right)\left(3x+3y\right)\)
\(=x^3+y^3+z^3+3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\) (đpcm)
9 tháng 7 2018
a, Xét vế trái ta có:
(x-1)(x^2+ x+1)=x^3+ x^2+ x- x^2- x-1
=x^3+ (x^2- x^2)+(x-x)-1
=x^3-1
Vậy...
b,Xét vế trái ta có:(x^3+ x^2y+ xy^2+ y^3)(x-y)
=x^4- x^3y+ x^3y- x^2- y^2+ x^2y^2- xy^3+ xy^3- y^4
=x^4-y^4
Vậy ........
c, Xét vế trái ta có:
(x+y+z)^2=(x+y+z)(x+y+z)
=x^2+ xy+ xz+ yx+y^2+ yz+ zx+ zy+ z^2
=x^2+ y^2+ z^2+ 2xy+ 2xz+ 2yz
Vậy...............
d, Xé vế trái ta có:
(x+y+x)^3=(x+y+z)(x+y+z)(x+y+z)(x+y+z)
=(x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz)(x+y+z)
=x^3+ xy^2+ xz^2+ 2x^2y+ 2xyz+ 2x^2z+ x^2y+ y^3+ yz^2+2xy^2+ 2y^2z+z^3+ 2xyz+ x^2z+ y^2z+2xyz+ 2yz^2+ 2xz^2
=x^3+ 3xy^2+ 6xy+ 3x^2y+3xz^2+ 3x^2z+ 3yz^2+ y^3z^3 (1)
Xét vế phải ta có:x^3+ y^3+ z^3+ 3(x+y)(x+y)(y+z)
=x^3+ y^3+ z^3+ 3(xy+ xz+ y^2+ yz)(z+x)
=x^3+ y^3+ z^3+ 3(xyz+ xz^2+ y^2z+ yz^2+ x^2y+ x^2z+ xy^2+xyz)
=x^2+ y^3+ z^3 +3(2xyz+ xz^2+ y^2z+ yz^2+x^2y+x^2z+ xy^2)
=x^3+ y^3+ z^3+6xyz+ 3xz^2+ 3y^2z+3yz^2+ 3x^2y+3x^2z+3xy^2(2)
Từ (1) và (2)=>.......
MN
12 tháng 1 2020
Phân tích đến đây rồi ạ :
\(2xy+2yz+2zx=2x^2+2y^2+2z^2\)
Từ cái này suy ra được đpcm hay cần thêm bước nào nữa k ạ ?
KN
12 tháng 1 2020
\(VT=2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx=2\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)\)\(VT=VP\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+z^2-2xy-2yz-2zx\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=0\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx\)
Mà \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)(tự c/m)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow x=y=z\))
=> đpcm