Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Vì 4 chia 3 dư 1, mũ lên bao nhiêu vẫn chia 3 dư 1
=> 4n với n thuộc N* luôn chia 4 dư 1
Mà 5 chia 3 dư 2
=> 4n + 5 chia hết cho 3
=> đpcm
Bài này lớp 6 bít lm
Ủng hộ mk nha
Bạn đã học đồng dư chưa?
Ta có:
\(4\text{≡}1\left(mod3\right)\)
\(\Rightarrow4^n\text{≡}1^n\left(mod3\right)\)
\(\Rightarrow4^n\text{≡}1\left(mod3\right)\)
\(\Rightarrow4^n+5\text{≡}1+5\text{≡}6\text{≡}0\left(mod3\right)\)
Do đó \(4^n+5\) luôn chia hết cho 3 với mọi n thuộc N*.
bài 1b
+)Nếu n chẵn ,ta có \(n^4⋮2,4^n⋮2\Rightarrow n^4+4^n⋮2\)
mà \(n^4+4^n>2\)Do đó \(n^4+4^n\)là hợp số
+)nếu n lẻ đặt \(n=2k+1\left(k\in N\right)\)
Ta có \(n^4+4^n=n^4+4^{2k}.4=\left(n^2+2.4k\right)^2-2n^2.2.4^k\)
\(=\left(n^2+2^{2k+1}\right)^2-\left(2.n.2^k\right)^2\)
\(=\left(n^2+2^{2k+1}+2n.2^k\right)\left(n^2+2^{2k+1}-2n.2^k\right)\)
\(=\left(\left(n+2^k\right)^2+2^{2k}\right)\left(\left(n-2^k\right)^2+2^{2k}\right)\)
là hợp số,vì mỗi thừa số đều lớn hơn hoặc bằng 2
(nhớ k nhé)
Bài 2a)
Nhân 2 vế với 2 ta có
\(a^4+b^4\ge2ab\left(a^2+b^2\right)-2a^2b^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)^2\ge2ab\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(đúng)
Dẫu = xảy ra khi \(a=b\)
Dễ chứng minh m,n đều là số lẻ (sử dụng phản chứng vs n,m đều chẵn, 1 trong 2 số chẵn). Vậy ta có hđt mở rộng:
\(3^m+5^m+3^n+5^n=\left(3+5\right)\left(3^{m-1}-3^{m-2}.5+...\right)+\left(3+5\right)\left(3^{n-1}-3^{n-2}.5+...\right)\)
\(=8A+8B\)
=> \(3^n+5^m=8A+8B-3^m-5^n\)
=> \(3^n+5^m\)chia hết cho 8. d0pcm
cậu chỉ ra mk xem cách giải cái bài này nghĩ ma k ra ak?
Bài 3
Với abc=1
Ta CM \(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ac+c+1}=1\)
\(VT=\frac{1}{ab+a+1}+\frac{a}{abc+ab+a}+\frac{ab}{a^2bc+abc+ac}\)
\(=\frac{1}{ab+a+1}+\frac{a}{ab+a+1}+\frac{ab}{ab+a+1}=1\)(ĐPCM)
Ta có \(\left(1+a\right)^2+b^2+5=\left(a^2+b^2\right)+2a+6\ge2ab+2a+6\)
=> \(\frac{\left(1+a\right)^2+b^2+5}{ab+a+4}=\frac{2ab+2a+6}{ab+a+4}=2-\frac{2}{ab+a+4}\)
Mà \(\frac{1}{ab+a+4}=\frac{1}{ab+a+1+3}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{3}\right)\)(do \(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\))
=> \(\frac{\left(1+a\right)^2+b^2+5}{ab+a+4}\ge2-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{3}\right)=\frac{11}{6}-\frac{1}{2}.\frac{1}{ab+a+1}\)
Khi đó
\(P\ge\frac{11}{2}-\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ac+c+1}\right)=\frac{11}{2}-\frac{1}{2}.1=5\)
\(MinP=5\)khi \(a=b=c=1\)