Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(2^2+4^2+...+\left(2n\right)^2=2^2\left(1^2+2^2+...+n^2\right)\)
\(=\frac{2^2.n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}=\frac{2n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{3}\)
\(\Rightarrow\) Sai, nhưng số 1 và số 4 khi viết trên bảng rất giống nhau, bạn có chắc mình ko nhìn nhầm và chép nhầm đề ko?
\(1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n\left(n+1\right)}\)
Do \(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n\left(n+1\right)}>0\) nên \(1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n\left(n+1\right)}>1\) (đúng)
Lại nghi ngờ bạn chép nhầm đề, ko ai cho đề bài kiểu này cả, hoặc là vế phải là số 2, hoặc vế trái bạn thừa số 1 đầu tiên
\(A=\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}\)
\(A=2\left(\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}\right)\)
\(A>2\left(\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}\right)\)
\(A>2\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\)
\(A>2\left(\sqrt{n+1}-1\right)\)
\(\frac{3n+2}{2n-1}\in Z\Rightarrow\frac{2\left(3n+2\right)}{2n-1}\in Z\Rightarrow3+\frac{7}{2n-1}\in Z\)
\(\Rightarrow\frac{7}{2n-1}\in Z\Rightarrow2n-1=Ư\left(7\right)=\left\{-1;1;7\right\}\)
\(\Rightarrow n=\left\{0;1;4\right\}\)
Vậy \(A=\left\{0;1;4\right\}\)
\(\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}\)
\(=\frac{b^2c^2}{ab+ca}+\frac{c^2a^2}{bc+ab}+\frac{a^2b^2}{ca+bc}\)
\(\ge\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel(hoặc áp dụng BĐT quen thuộc: \(\frac{p^2}{m}+\frac{q^2}{n}\ge\frac{\left(p+q\right)^2}{m+n}\) 2 lần),ta có:
\(VT=\frac{\left(\frac{1}{a^2}\right)}{a\left(b+c\right)}+\frac{\left(\frac{1}{b^2}\right)}{b\left(c+a\right)}+\frac{\left(\frac{1}{c^2}\right)}{c\left(a+b\right)}\)
\(\ge\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\) (thay abc = 1 vào)
\(=\frac{ab+bc+ca}{2}=\frac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)^{\left(đpcm\right)}\)
Ta có \(\left(2n\right)^2=4n^2>4n^2-1=\left(2n-1\right)\left(2n+1\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(2n\right)^2}< \frac{1}{\left(2n-1\right)\left(2n+1\right)}\)
\(P_n^2=\frac{1^23^25^2...\left(2n-1\right)^2}{2^24^26^2...2n^2}< \frac{1^23^25^2...\left(2n-1\right)^2}{1.3.3.5.5.7...\left(2n-1\right)\left(2n+1\right)}\)
\(P^2< \frac{1^23^25^2...\left(2n-1\right)^2}{1.3^2.5^2...\left(2n-1\right)^2\left(2n+1\right)}=\frac{1}{2n+1}\)
\(\Rightarrow P< \frac{1}{\sqrt{2n+1}}\)