Question

[Mega]

Chứng minh bằng quy nạp: -x+x⁴ⁿ⁺¹⋮30

Answer 1

[Lê Song Phương]

Với \(n=0\) thì đpcm thành \(0⋮30\), luôn đúng.

Với \(n=1\) thì đpcm thành \(x^5-x⋮30\). Ta thấy:

\(VT=x^5-x=x\left(x^4-1\right)=x\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)=x\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)\)

Ta thấy \(x\left(x-1\right)\left(x+1\right)\) là tích của 3 số liên tiếp nên nó chia hết cho 6 \(\Rightarrow VT⋮6\)    (1)

 Nếu \(x⋮5\Rightarrow VT⋮5\)

 Nếu \(x\equiv\pm1\left[5\right]\) thì \(x-1\) hoặc \(x+1\) chia hết cho 5 \(\Rightarrow VT⋮5\)

 Nếu \(x\equiv\pm2\left[5\right]\) thì \(x^2+1⋮5\Rightarrow VT⋮5\)

 Vậy với mọi \(x\) thì \(VT⋮5\)    (2)

 Do \(ƯCLN\left(5,6\right)=1\) nên từ (1) và (2) \(\Rightarrow x^5-x⋮30\)

 Vậy với \(n=1\) thì khẳng định đúng.

 Giả sử khẳng định đúng đến \(n=k\ge0\). Ta cần chứng minh khẳng định đúng với \(n=k+1\)

 Với \(n=k+1\), ta có: 

 \(x^{4n+1}-x\) \(=x^{4\left(k+1\right)+1}-x\)

\(=x^{4k+5}-x\)

\(=x^4.x^{4k+1}-x^5+x^5-x\)

\(=x^4\left(x^{4k+1}-x\right)+\left(x^5-x\right)\)

Mà theo giả thiết quy nạp, \(x^{4k+1}-x⋮30\) và theo cmt thì \(x^5-x⋮30\)

\(\Rightarrow x^{4n+1}-x=x^4\left(x^{4k+1}-x\right)+\left(x^5-x\right)⋮30\). Như vậy, khẳng định đúng với \(n=k+1\).

 Theo nguyên lí quy nạp, ta có đpcm.