Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a. Phải là nhỏ hơn hẳn nhé, ko có dấu = đâu
CM:
a,b,c là 3 cạnh 1 tam giác\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2< c^2\Rightarrow a^2+b^2< c^2+2ab\Rightarrow\sqrt{a^2+b^2}< \sqrt{c^2+2ab}\)
cm tương tự ta có: \(VT< \sqrt{c^2+2ab}+\sqrt{b^2+2ac}+\sqrt{a^2+2bc}\)
Theo BĐT Bunhia \(\Rightarrow VT< \sqrt{a^2+2bc}+\sqrt{b^2+2ac}+\sqrt{c^2+2ab}\)\(\le\sqrt{\left(1+1+1\right)\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\right)}=\sqrt{3\left(a+b+c\right)^2}=\sqrt{3}.\left(a+b+c\right)\)
2, (cần cù bù thông minh) Quy đồng
\(\left|\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}\right|=...=\left|\frac{\left(b-c\right)\left(a-c\right)\left(a-b\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\right|\) (chỗ ba chấm là bước quy đồng tự làm)
\(=\frac{\left|a-b\right|}{a+b}.\frac{\left|b-c\right|}{b+c}.\frac{\left|a-c\right|}{a+c}\)
\(\le\frac{ \left|a-b\right|}{2\sqrt{ab}}.\frac{\left|b-c\right|}{2\sqrt{bc}}.\frac{\left|a-c\right|}{2\sqrt{ca}}\left(Cauchy\right)\)
\(< \frac{c}{2\sqrt{ab}}.\frac{a}{2\sqrt{bc}}.\frac{b}{2\sqrt{ca}}\left(Bđt\Delta\right)\)
\(=\frac{1}{8}\left(đpcm\right)\)
Tuogw tựCâu hỏi của Nue nguyen - Toán lớp 10 | Học trực tuyến
Ta có \(\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}=\frac{\sqrt{bc}}{\sqrt{bc+a.abc}}=\frac{\sqrt{bc}}{\sqrt{bc+a\left(a+b+c\right)}}=\frac{\sqrt{bc}}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}=\sqrt{\frac{b}{a+b}}.\sqrt{\frac{c}{a+c}}\)
\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}\right)\)
Tương tự => \(A\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}+\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{b+c}\right)=\frac{3}{2}\)
Dấu ''='' xảy ra khi a=b=c=\(\sqrt{3}\)
Bài 1:
Đặt \(a^2=x;b^2=y;c^2=z\)
Ta có:\(\sqrt{\frac{x}{x+y}}+\sqrt{\frac{y}{y+z}}+\sqrt{\frac{z}{z+x}}\le\frac{3}{\sqrt{2}}\)
Áp dụng BĐT cô si ta có:
\(\sqrt{\frac{x}{x+y}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{4x\left(x+y+z\right)}{3\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\frac{3\left(x+z\right)}{2\left(x+y+z\right)}}\)
\(\le\frac{1}{2\sqrt{2}}\left[\frac{4x\left(x+y+z\right)}{3\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{3\left(x+z\right)}{2\left(x+y+z\right)}\right]\)
Tương tự với \(\sqrt{\frac{y}{y+z}}\)và \(\sqrt{\frac{z}{z+x}}\)
Cộng lại ta được:
\(\frac{\sqrt{2}}{3}\left[\frac{x\left(x+y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{y\left(x+y+z\right)}{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}+\frac{z\left(x+y+z\right)}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\right]+\frac{3}{2\sqrt{2}}\le\frac{3}{2\sqrt{2}}\)
Sau đó bình phương hai vế rồi
\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge8xyz\)đẳng thức đúng
Vậy...
Bài 2:
Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức sau:
\(\frac{a}{4a+4b+c}+\frac{b}{4b+4c+a}+\frac{c}{4c+4a+b}\le\frac{1}{3}\)
Nhân cả hai vế bđt với 4(a+b+c)4(a+b+c) rồi thu gọn ta được bđt sau:
\(\frac{4a\left(a+b+c\right)}{4a+4b+c}+\frac{4b\left(a+b+c\right)}{4b+4c+a}+\frac{4c\left(a+b+c\right)}{4c+4a+b}\)\(\le\frac{4}{3}\left(a+b+c\right)\)
\(\left[\frac{4a\left(a+b+c\right)}{4a+4b+}-a\right]+\left[\frac{4b\left(a+b+c\right)}{4b+4c+a}-b\right]+\left[\frac{4c\left(a+b+c\right)}{4c+4a+b}-c\right]\le\frac{a+b+c}{3}\)
\(\frac{ca}{4a+4b+c}+\frac{ab}{4b+4c+a}+\frac{bc}{4c+4a+b}\le\frac{a+b+c}{9}\)
Áp dụng bđt cauchy-Schwarz ta có \(\frac{ca}{4a+4b+c}=\frac{ca}{\left(2b+c\right)+2\left(2a+b\right)}\)\(\le\frac{ca}{9}\left(\frac{1}{2b+c}+\frac{2}{2a+b}\right)\)
Từ đó ta có:
\(\text{∑}\frac{ca}{4a+4b+c}\le\frac{1}{9}\text{∑}\left(\frac{ca}{2b+c}+\frac{2ca}{2a+b}\right)\)\(=\frac{1}{9}\left(\text{ ∑}\frac{ca}{2b+c}+\text{ ∑}\frac{2ca}{2a+b}\right)\)\(=\frac{1}{9}\left(\text{ ∑}\frac{ca}{2b+c}+\text{ ∑}\frac{2ab}{2b+c}\right)=\frac{a+b+c}{9}\)
Đặt VT=A rồi áp dụng bđt cauchy-Schwarz cho VT ta có
\(T^2\le3\left(\frac{a}{4a+4b+c}+\frac{b}{4b+4c+a}+\frac{c}{4c+4a+b}\right)\)\(\le3\cdot\frac{1}{3}=1\Leftrightarrow T\le1\)
Dấu = xảy ra khi a=b=c
c bạn tự làm nhé mình mệt rồi :D
a) Áp dụng bdt cosi schwars ta có
\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+d}+\frac{d^2}{d+a}\)
\(\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{a+b+b+c+c+d+d+a}\)
\(=\frac{a+b+c+d}{2}\)
cái này mik biết nè
vì a,b,c là 3 cạnh tam giác
=> \(a,b,c\in\left[0;\frac{1}{2}\right]\)
=> \(a+b^2\le\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\Rightarrow\sqrt{a+b^2}\le\sqrt{\frac{3}{4}}< 1\)
=> \(\frac{b}{\sqrt{a+b^2}}>b\)
tương tự mấy cái kia rồi + vào thì cậu có cả biểu thức >a+b+c=1
còn ý 2 thì nht nhé
ta cần chứng minh bất đẳng thức
\(\frac{b}{\sqrt{a+b^2}}< \frac{2b}{a+b+c}\Leftrightarrow\sqrt{a+b^2}>\frac{1}{2}\)
ta có \(\left(b-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\Rightarrow a+b^2>a+b-\frac{1}{4}>\frac{a+b+c}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\Rightarrow\sqrt{a+b^2}>\frac{1}{4}\)
=> bất đẳng thức cần chứng minh luôn đúng> Tương tự mấy cái kia rồi cậu tự + vào thì nó sẽ ra điều phải chứng minh