Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:
P=\(\left(X^2+y^2+z^2+2xyz\right)-\left(X^2+y^2+z^2+4xyz-xy-yz-xz\right)\) xz)
= 1-\(\left(x^2+y^2+z^2+4xyz-xy-yz-xz\right)\)
=> P \(\le\)1
Vậy MaxP=1
\(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge\frac{3\sqrt[3]{xyz}.3}{\sqrt[3]{xyz}}=9.\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(\frac{xy+yz+xz}{xyz}\right)\ge9\Leftrightarrow xy+yz+xz\ge\frac{9xyz}{x+y+z}\)
lại có \(x+y+z=\sqrt{xyz}\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2=xyz\)
=> đpcm
Cộng 1 vào 2 vế của 3 pt ta được:
x+xy+y+1=1+1 <=> (x+1)(y+1)=2
y+yz+z+1=3+1 <=> (y+1)(z+1)=4
z+xz+z+1=7+1 <=> (z+1)(x+1)=8
Ta có: (x+1)(y+1)(y+1)(z+1)=(y+1)2 .8=2.4=8 => (y+1)2 =1
(y+1)(z+1)(z+1)(x+1)=(z+1)2 .2=4.8=32 => (z+1)2 =16
(z+1)(x+1)(x+1)(y+1)=(x+1)2 .4=2.8=16 => (x+1)2 =4
Do x;y;z không âm nên x= 1; y= 0; z= 3
=> M = 1 +02 +32 =10
+) \(P=\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-y^2}+\sqrt{1-z^2}\)
\(\le\frac{1-x^2+\frac{3}{4}}{\sqrt{3}}+\frac{1-y^2+\frac{3}{4}}{\sqrt{3}}+\frac{1-z^2+\frac{3}{4}}{\sqrt{3}}\)
\(=\frac{\frac{21}{4}-x^2-y^2-z^2}{\sqrt{3}}\)
+) \(1=xy+yz+xz+2xyz\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+\frac{2\left(x+y+z\right)^3}{27}\)
Đặt \(a=x+y+z\), ta được \(2a^3+9a^2-27\ge0\Leftrightarrow\left(2a-3\right)\left(a+3\right)^2\ge0\Rightarrow a\ge\frac{3}{2}\)
+) \(A=x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\frac{\frac{9}{4}}{3}=\frac{3}{4}\)
+) \(P\ge\frac{\frac{21}{4}-A}{\sqrt{3}}=\frac{\frac{21}{4}-\frac{3}{4}}{\sqrt{3}}=\frac{9}{2\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
Dấu = xảy ra khi x = y = z = 1/2
ĐẶt \(\left(x,y,z\right)\rightarrow\left(a,b,c\right)\) ( cho dễ nhìn thôi ko có ý j cả :) )
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a^4+bc\ge2\sqrt{a^4bc}=2a^2\sqrt{bc}\Rightarrow\frac{a^2}{a^4+bc}\le\frac{a^2}{2a^2\sqrt{bc}}=\frac{1}{2\sqrt{bc}}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng lại :
\(P\le\frac{1}{2\sqrt{ab}}+\frac{1}{2\sqrt{bc}}+\frac{1}{2\sqrt{ac}}\). Lại theo AM-GM có
\(a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\) khi đó
\(P\le\frac{1}{2\sqrt{ab}}+\frac{1}{2\sqrt{bc}}+\frac{1}{2\sqrt{ca}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\cdot\frac{ab+bc+ca}{abc}\le\frac{1}{2}\cdot\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}=\frac{1}{2}\cdot3=\frac{3}{2}\)
Xảy ra khi \(a=b=c=1\)
\(x^2+y^2+z^2+2xyz=1\)
\(\Leftrightarrow2xyz=1-x^2-y^2-z^2\)
\(\Rightarrow P=xy+yz+xz-2xyz=xy+yz+xz+x^2+y^2+z^2-1\)
\(\Rightarrow2P=\left(x+y\right)^2+\left(y+z\right)^2+\left(z+x\right)^2-2\ge1\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\)