Question

[Thầy Cao Đô]

Cho $\triangle A B C$ có $A B<A C$. Tia phân giác của $\widehat{A}$ cắt đường thẳng vuông góc với $B C$ tại trung điểm của $B C$ ở $D$. Gọi $H$ và $K$ là chân các đường vuông góc kẻ từ $D$ đến các đường thẳng $A B$, $A C$. Chứng minh $B H=C K$.

Answer 1

[Vũ Phương Anh]

Ta có �D thuộc phân giác của �^A;

��⊥��DH⊥AB; ��⊥��DK⊥AC ⇒��=��⇒DH=DK (tính chất tia phân giác của một góc).

Gọi �G là trung điểm của ��BC.

Xét △���△BGD và △���△CGD, có

���^=���^=90∘BGD=CGD=90∘ (��DG là trung trực của ��BC ),

��=��BG=CG (già thiết),

��DG là cạnh chung.

Do đó △���=△���△BGD=△CGD (hai cạnh góc vuông)

⇒��=��⇒BD=CD (hai cạnh tương ứng).

Xét △���△BHD và △���△CKD, có

���^=���^=90∘BHD=CKD=90∘ (giả thiết);

��=��DH=DK (chứng minh trên);

��=��BD=CD (chứng minh trên).

Do đó △���=△���△BHD=△CKD (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

⇒��=��⇒BH=CK (hai cạnh tương ứng).

Answer 2

[Nguyễn Ngọc Khôi Nguyên]

Ta có DD thuộc phân giác của \widehat{A}A;

D H \perp A BDH⊥AB; D K \perp A CDK⊥AC \Rightarrow D H=D K⇒DH=DK (tính chất tia phân giác của một góc).

Gọi GG là trung điểm của BCBC.

Xét \triangle B G D△BGD và \triangle C G D△CGD, có

\widehat{B G D}=\widehat{C G D}=90^{\circ}BGD=CGD=90∘ (DGDG là trung trực của B CBC ),

BG=CGBG=CG (già thiết),

DGDG là cạnh chung.

Do đó \triangle B G D=\triangle C G D△BGD=△CGD (hai cạnh góc vuông)

\Rightarrow B D=C D⇒BD=CD (hai cạnh tương ứng).

Xét \triangle B H D△BHD và \triangle C K D△CKD, có

\widehat{B H D}=\widehat{C K D}=90^{\circ}BHD=CKD=90∘ (giả thiết);

D H=D KDH=DK (chứng minh trên);

B D=C DBD=CD (chứng minh trên).

Do đó \triangle B H D=\triangle C K D△BHD=△CKD (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

\Rightarrow B H=C K⇒BH=CK (hai cạnh tương ứng).