Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Kẽ đường cao AH
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}sinB=\frac{AH}{c}\\sinC=\frac{AH}{b}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow AH=c.sinB=b.sinC\)
\(\Rightarrow\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}\)
Tương tự ta cũng có
\(\frac{b}{sinB}=\frac{a}{sinA}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}\)
Ta có:
\(\frac{a}{sinA}=\frac{a}{\frac{h_b}{c}}=\frac{ac}{h_b}=\frac{ac}{\frac{2S}{b}}=\frac{abc}{S}\left(1\right)\)
Tương tự ta cũng có:
\(\hept{\begin{cases}\frac{b}{sinB}=\frac{abc}{2S}\left(2\right)\\\frac{c}{sinC}=\frac{abc}{2S}\left(3\right)\end{cases}}\)
Từ (1), (2), (3) \(\Rightarrow\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}\)
A B C H K
Từ A kẻ đường cao AH, H thuộc BC. Từ B kẻ đường cao BK, K thuộc AC
Ta có: \(\sin A=\frac{BK}{AB};\sin B=\frac{AH}{AB};\sin C=\frac{AH}{AC}\)
\(\Rightarrow\frac{AB}{\sin C}=\frac{AB}{\frac{AH}{AC}}=\frac{AB.AC}{AH}\)
\(\Rightarrow\frac{AC}{\sin B}=\frac{AC}{\frac{AH}{AB}}=\frac{AB.AC}{AH}\)
\(\Rightarrow\frac{c}{\sin C}=\frac{b}{\sin B}1\)
Lại có:
\(BK=\sin C.BC\Rightarrow\frac{BC}{\sin A}=\frac{BC}{\frac{BK}{AB}}=\frac{BC.AB}{BK}=\frac{AB.BC}{\sin C.BC}=\frac{AB}{\sin C}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}2\)
Từ 1 và 2, ta có:
\(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\)
\(\RightarrowĐPCM\)
đặt AB=c, BC=a, AC=c.
để chứng minh bđt trên ta sẽ áp dụng công thức: \(S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}.a.b.sinC=\frac{1}{2}.b.c.sinA=\frac{1}{2}.a.c.sinB\)
ta có: \(\frac{sinA}{sinB+sinC}+\frac{sinB}{sinA+sinC}+\frac{sinC}{sinA+sinB}\)
\(=\frac{a.b.c.sinA}{a.b.c.sinB+a.b.c.sinC}+\frac{a.b.c.sinB}{a.b.c.sinA+a.b.c.sinC}+\frac{a.b.c.sinC}{a.b.c.sinA+a.b.c.sinB}\)
;\(=\frac{2S_{\Delta ABC}.a}{2S_{\Delta ABC}.b+2S_{\Delta ABC}.c}+\frac{2S_{\Delta ABC}.b}{2.S_{\Delta ABC}.c+2.S_{\Delta ABC}.b}+\frac{2S_{\Delta ABC}.c}{2S_{\Delta ABC}.b+2S_{\Delta ABC}.a}\)
\(=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\).
Ta có: \(\frac{a}{b+c}>\frac{a}{a+b+c};\frac{b}{a+c}>\frac{b}{a+b+c};\frac{c}{a+b}>\frac{c}{a+b+c}\)
nên \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=1.\)
Ta sẽ chứng minh bđt phụ: \(\frac{a}{b+c}< \frac{2a}{a+b+c}\left(1\right)\)
Thật vậy: \(\left(1\right)\Leftrightarrow a^2< a\left(b+c\right)\Leftrightarrow a< b+c\)(đúng vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác).
tương tự: \(\frac{b}{a+c}< \frac{2b}{a+b+c};\frac{c}{a+b}< \frac{2c}{a+b+c}\).
suy ra: \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}< \frac{2a}{b+c}+\frac{2b}{a+c}+\frac{2c}{a+b}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\).
vậy bất đẳng thức đã được chứng minh.
A B C D E a b c
a) Kẻ \(CE\perp AB\)
Ta có : \(S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}CE.AB\left(1\right)\)
Xét \(\Delta ACE\)có \(\sin A=\frac{EC}{AC}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2}AB.AC.\sin A=\frac{1}{2}AB.AC.\frac{EC}{AC}=\frac{1}{2}AB.EC\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB.AC.\sin A\left(đpcm\right)\)
b) Kẻ \(BD\perp AC\)
Xét \(\Delta ADB\)có \(\sin A=\frac{BD}{AB}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{\sin A}=BC\div\frac{BD}{AB}=\frac{BC.AB}{BD}\left(3\right)\)
Lại có : \(\sin A=\frac{EC}{AC}\)( câu a )
\(\Rightarrow\frac{a}{\sin A}=BC\div\frac{EC}{AC}=\frac{CA.BC}{EC}\left(4\right)\)
Xét \(\Delta BEC\)có \(\sin B=\frac{EC}{BC}\)
\(\Rightarrow\frac{b}{\sin B}=CA\div\frac{EC}{BC}=\frac{CA.BC}{EC}\left(5\right)\)
Xét \(\Delta BDC\)có \(\sin C=\frac{DB}{BC}\)
\(\Rightarrow\frac{c}{\sin C}=AB\div\frac{DB}{BC}=\frac{AB.BC}{DB}\left(6\right)\)
Từ (3) ; (4) ; (5) và (6) \(\Rightarrow\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\left(đpcm\right)\)
c) Xét \(\Delta ABD\)có \(\cos A=\frac{AD}{AB}\)
Áp dụng định lí Py-ta-go cho \(\Delta ABD\)vuông tại D ta được :
\(AB^2=BD^2+AD^2\)
Áp dụng định lí Py-ta-go cho \(\Delta BDC\)vuông tại D ta được :
\(BD^2+DC^2=BC^2\)
Ta có : \(b^2+c^2-2bc.\cos A\)
\(=AB^2+AC^2-2AB.AC.\cos A\)
\(=BD^2+AD^2+AC^2-2AB.AC.\frac{AD}{AB}\)
\(=BD^2+\left(AC^2-2AD.AC+AD^2\right)\)
\(=BD^2+\left(AC-AD\right)^2\)
\(=BD^2+DC^2\)
\(=BC^2=a\left(đpcm\right)\)
Kẻ đg cao BH
a) + \(sinA=\frac{BH}{AB}=\frac{BH}{c}\)
+ \(S_{ABC}=\frac{1}{2}BH\cdot AC=\frac{BH\cdot AC\cdot AB}{2AB}\)
\(=\frac{bc\cdot sinA}{2}\)
b) + \(sinC=\frac{BH}{BC}=\frac{BH}{a}\)
\(\Rightarrow\frac{sinA}{sinC}=\frac{\frac{BH}{c}}{\frac{BH}{a}}=\frac{a}{c}\Rightarrow\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}\)
+ Tương tự : \(\frac{a}{b}=\frac{sinA}{sinB}\Rightarrow\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}\)
Do đó: \(\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}\)
C A B H
Gọi AH là đường cao của tam giác ABC như hình vẽ
ta có : \(AH=AC\times sinC=b.sinC\)
mà \(S_{ABC}=\frac{1}{2}AH.BC=\frac{1}{2}AC.BC.sinC=\frac{1}{2}ab.sinC\)
.b hoàn toàn tương tự ta có thể chứng minh :
\(S_{ABC}=\frac{1}{2}ab.sinC=\frac{1}{2}bc.sinA=\frac{1}{2}ac.sinB\)
hay \(abc.\frac{sinC}{c}=abc.\frac{sinA}{a}=abc.\frac{sinB}{b}\)
hay ta có : \(\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}\)