Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A B C H D M E N F K
a) Ta thấy \(\widehat{BAM}=\widehat{BCM}\) (Cùng phụ với góc \(\widehat{ABC}\) )
Vậy nên \(\widebat{KB}=\widebat{MB}\), suy ra \(\widehat{KCB}=\widehat{MCB}\) (Hai góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau)
Gọi giao điểm của ba đường cao là H.
Xét tam giác MHC có CD là đường cao đồng thời là phân giác nên tam giác MHC cân tại C.
Vậy thì CD cũng là trung tuyến hay DM = DH.
Ta có \(\frac{AM}{AD}=\frac{AD+DM}{AD}=1+\frac{DM}{AD}=1+\frac{DH}{AD}\)
Tương tự \(\frac{BN}{BE}=1+\frac{HE}{BE};\frac{CK}{CF}=1+\frac{FH}{CF}\)
Ta có \(\frac{AM}{AD}+\frac{BN}{BE}+\frac{CK}{CF}=3+\frac{HD}{AD}+\frac{HE}{BE}+\frac{HF}{CF}\)
Lại thấy rằng \(\frac{DH}{AD}=\frac{S_{HBC}}{S_{ABC}};\frac{HE}{BE}=\frac{S_{HAC}}{S_{ABC}};\frac{HF}{CF}=\frac{S_{HAB}}{S_{ABC}}\)
nên \(\frac{HD}{AD}+\frac{HE}{BE}+\frac{HF}{CF}=\frac{S_{HBC}+S_{HAC}+S_{HAB}}{S_{ABC}}=\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1\)
Vậy thì \(\frac{AM}{AD}+\frac{BN}{BE}+\frac{CK}{CF}=3+1=4\)
Lời giải:
\(S_{ABC}=\frac{AD.BC}{2}; S_{ABMC}=\frac{AM.BC}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{S_{ABMC}}{S_{ABC}}=\frac{AM}{AD}\)
Hoàn toàn TT: \(\frac{S_{ABCN}}{S_{ABC}}=\frac{BN}{BE}; \frac{S_{ACBK}}{S_{ABC}}=\frac{CK}{CF}\)
Do đó:
\(\frac{AM}{AD}+\frac{BN}{BE}+\frac{CK}{CF}=\frac{S_{ABMC}+S_{ABCN}+S_{ACBK}}{S_{ABC}}\)
\(=\frac{S_{ABC}+S_{BMC}+S_{ABC}+S_{ANC}+S_{ABC}+S_{AKB}}{S_{ABC}}=3+\frac{S_{BMC}+S_{ANC}+S_{AKB}}{S_{ABC}}(*)\)
Lại có:
\(\widehat{MBD}=\widehat{MBC}=\widehat{MAC}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung MC)
\(=\widehat{HAE}=90^0-\widehat{AHE}=90^0-\widehat{BHD}=\widehat{HBD}\)
Xét tam giác $HBD$ và $MBD$ có:
\(\left\{\begin{matrix} \widehat{MBD}=\widehat{HBD}\\ \widehat{BDH}=\widehat{BDM}=90^0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow \triangle HBD\sim \triangle MBD\)
\(\Rightarrow \frac{HD}{BD}=\frac{MD}{BD}\Rightarrow HD=MD\)
\(\Rightarrow S_{BHC}=\frac{HD.BC}{2}=\frac{MD.BC}{2}=S_{BMC}\)
Hoàn toàn TT: \(S_{AHC}=S_{ANC}; S_{AHB}=S_{AKB}\)
\(\Rightarrow S_{BMC}+S_{ANC}+S_{AKB}=S_{BHC}+S_{AHC}+S_{AHB}=S_{ABC}(**)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow \frac{AM}{AD}+\frac{BN}{BE}+\frac{CK}{CF}=3+\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=4\) (đpcm)
Xét tứ giác CEHD ta có:
Góc CEH = 900 (Vì BE là đường cao)
Góc CDH = 900 (Vì AD là đường cao)
=> góc CEH + góc CDH = 1800
Mà góc CEH và góc CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD. Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp.