Question

[Ma Trần Viên Nguyên]

Cho tam giác ABC, D là điểm ở giữa BC. Trên AD, lấy điểm E sao cho AE bằng 2 lầm đoạn ED. Nối B với E và kéo dài, cắt AC ở điểm G. Hãy chứng minh rằng G là trung điểm của đoạn AC.

Bài này mọi người tự vẽ hình giùm nha vì mình ko biết vẽ hình.

Answer 1

[Nguyễn Ngọc Anh Minh]

A B C E D G

Hai tg ABE và tg BDE có chung đường cao từ B->AD nên

\(\dfrac{S_{ABE}}{S_{BDE}}=\dfrac{AE}{ED}=2\Rightarrow S_{BDE}=\dfrac{S_{ABE}}{2}\)

Hai tg BDE và tg CDE có chung đường cao từ E->BC nên

\(\dfrac{S_{BDE}}{S_{CDE}}=\dfrac{BD}{CD}=1\Rightarrow S_{BDE}=S_{CDE}=\dfrac{S_{ABE}}{2}\)

\(\Rightarrow S_{BDE}+S_{CDE}=S_{BCE}=\dfrac{S_{ABE}}{2}+\dfrac{S_{ABE}}{2}=S_{ABE}\)

Hai tg ABE và tg BCE có chung BE nên

\(\dfrac{S_{ABE}}{S_{BCE}}=\) đường cao từ A->BG / đường cao từ C->BG = 1

Hai tg ABG và tg BCG có chung BG nên

\(\dfrac{S_{ABG}}{S_{BCG}}=\) đường cao từ A->BG / đường cao từ C->BG = 1

Hai tg ABG và tg BCG có chung đường cao từ B->AC nên

\(\dfrac{S_{ABG}}{S_{BCG}}=\dfrac{AG}{CG}=1\Rightarrow AG=CG\)

=> G là trung điểm của đoạn AC