Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bạn tham khảo nha : https://diendantoanhoc.net/topic/53004-cho-tam-giac-abc-va-hai-trung-tuy%E1%BA%BFn-bn-va-cm-vuong-goc-v%E1%BB%9Bi-nhau-ch%E1%BB%A9ng-minh-cotgbcotgc-23/page-1
a)
- Gọi AH,AM lần lượt là đường cao, đường trung tuyến của tam giác ABC, G là trọng tâm tam giác ABC
- Ta có: \(AH\le AM\Rightarrow\frac{1}{AH}\ge\frac{1}{AM}\Rightarrow\frac{1}{AH}\ge\frac{1}{3GM}\)( do G là trọng tâm tam giác ABC)\(\left(1\right)\)
- Xét tam giác BGC vuông tại G có BM là trung tuyến( do M là trung điểm BC)\(\Rightarrow2GM=BC\left(2\right)\)
- \(\cot B+\cot C=\frac{BH}{AH}+\frac{HC}{AH}=\frac{BC}{AH}\left(3\right)\)
- Từ \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\Rightarrow\cot B+\cot C\ge\frac{2}{3}\left(đpcm\right)\)
Bạn tự vẽ hình :)
Gọi O là giao điểm của BN và CM . Đặt ON = x , OM = y
Ta có : AB2 = 4MB2=4.(4x2+y2)
AC2=4.NC2=4.(x2+4y2)
\(\Rightarrow AB^2+AC^2=4\left(5x^2+5y^2\right)=5\left(4x^2+4y^2\right)=5BC^2\)
Gọi giao điểm của BN, CM là G => G là trọng tâm của tam giác ABC
Ta có: BN vuông góc vs CM
=> BG vuông góc vs GM và CG vuông góc vs GN
=> MG2 + GB2 = BM2 =(1/2.AB)2 =90,25 và CG2 + GN2 = NC2 = (1/2AC)2 = 121 (ĐL Pytago)
=> MG2 + GB2 + CG2 + GN2 = 211,25
Mà MG = 1/2 CG và NG = 1/2 BG (Vì G là trọng tâm)
=> (1/2CG)2 + CG2 + (1/2 BG)2 + BG2 =211,25 => 5/4 BG2 + 5/4 CG2 =211,25
=> BG2 +CG2 = 211,25 : 5/4 =169
=> BC2 = 169 (Vì BG2 +CG2 = BC2) => BC = 13
Đã bao giờ có 2 đường trung tuyến vuông góc bao giờ chưa?????
1a) A=D=E=90 độ
=>AEHD là hcn
=>AH=DE
b)Xét tam giác DBH vuông tại D có:
DI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BH
=>DI=BH/2=IH
=>tam giác IDH cân tại I
=>góc IDH=góc IHD (1)
Gọi O là gđ 2 đường chéo AH và DE
=>OD=OA=OE=OH (tự c/m)
=> tam giác DOH cân tại O
=> góc ODH=góc OHD(2)
từ (1) và (2) => góc ODH+góc IDH=90 độ(EHD+DHI=90 độ)
=>IDvuông góc DE(3)
Cmtt ta được: KEvuông góc DE(4)
Từ (3)và (4) => DI//KE.
2a) Ta có góc HAB+góc HAC=90 độ (1)
Xét tam giác ABC vuông tại A có
AM là đg trung tuyến ứng vs cạnh huyền BC
=>AM=MC
=>tam giác AMC cân
=>góc MAC=góc ACM
Lại có: góc HAC+góc ACH=90 độ(2)
Từ (1) và (2) => góc BAH=góc ACM
Mà góc AMC=góc MAC(cmt)
=>ABH=MAC(3)
b)A=D=E=90 độ
=>AFHE là hcn
Gọi O là gđ EF và AM
OA=OF(tự cm đi nha)
=>tam giác OAF cân
=>OAF=OFA(4)
Ta có : OAF+MCA=90 độ(5)
Từ (3)(4) và (5)
=>MAC+OFA=90 độ
Hay AM vuông góc EF
k giùm mình nha.
C B A M N x y 2y 2x O
Giả sử hai đường trung tuyến CM và BN vuông góc với nhau tại O.
Đặt OM = y , ON = x (x,y > 0) , suy ra OB = 2x , OC = 2y
Ta có : \(AB^2=\left(2BM\right)^2=4BM^2=4\left(4x^2+y^2\right)\)
\(AC^2=\left(2CN\right)^2=4CN^2=4\left(4y^2+x^2\right)\)
\(\Rightarrow AB^2+AC^2=4\left(4x^2+y^2\right)+4\left(4y^2+x^2\right)\)
\(=4\left(5x^2+5y^2\right)=5\left(4x^2+4y^2\right)=5\left[\left(2x\right)^2+\left(2y\right)^2\right]\)
\(=5\left(OB^2+OC^2\right)=BC^2\)
\(\Rightarrow AB^2+AC^2=5BC^2\)