Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
S1= 1.2.3
S2= 2.3.4
S3=3.4.5
...........
Sn = n(n+1)(n+2)
S= S1+S2+S3+...+Sn
Chứng minh 4S + 1 là 1 số chính phương
\(S=1\cdot2\cdot3+2\cdot3\cdot4+3\cdot4\cdot5+...+k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)
\(\Rightarrow4S=1\cdot2\cdot3\cdot4+2\cdot3\cdot4\cdot4+3\cdot4\cdot5\cdot4+...+k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\cdot4\)
\(=1\cdot2\cdot3\left(4-0\right)+2\cdot3\cdot4\left(5-1\right)+3\cdot4\cdot5\left(6-2\right)+.....+k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left[\left(k+3\right)-\left(k-1\right)\right]\)\(=1\cdot2\cdot3\cdot4-0\cdot1\cdot2\cdot3+2\cdot3\cdot4\cdot5-1\cdot2\cdot3\cdot4+....+k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)-\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)\(=k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)\)
Ta cần chứng minh:\(k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)+1\) là số chính phương.
Thật vậy:\(k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)+1=\left[k\left(k+3\right)\right]\left[\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right]+1\)
\(=\left(k^2+3k\right)\left(k^2+3k+2\right)+1\left(1\right)\)
Đặt \(k^2+3k=t\) thì (1) sẽ trở thành:
\(t\left(t+2\right)+1=t^2+2t+1=\left(t+1\right)^2=\left(k^2+3k+1\right)^2\)
Vì \(k\in N\)nên \(\left(k^2+3k+1\right)^2\) là số chính phương hay \(4S+1\) là số chính phương.
\(4S=1\cdot2\cdot3\cdot4+2\cdot3\cdot4\cdot4+3\cdot4\cdot5\cdot4+...+k\cdot\left(k+1\right)\cdot\left(k+2\right)\cdot4\)
= \(1\cdot2\cdot3\cdot4+2\cdot3\cdot4\cdot\left(5-1\right)+3\cdot4\cdot5\cdot\left(6-2\right)+...+k\cdot\left(k+1\right)\cdot\left(k+2\right)\cdot\left[\left(k+3\right)-\left(k-1\right)\right]\)= 1*2*3*4 + 2*3*4*5 - 1*2*3*4 + 3*4*5*6 - 2*3*4*5 + ... + k*(k+1)*(k+2)*(k+3) - (k-1)*k*(k+1)*(k+2)
=k*(k+1)*(k+2)*(k+3)
\(A=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{n\left(n+1\right)}\)
\(A=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)
\(A=1-\frac{1}{n+1}\)
a) Ta có: \(A=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{n\left(n+1\right)}\)
\(A=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)
\(A=1-\frac{1}{n+1}\)
\(A=\frac{n+1}{n+1}-\frac{1}{n+1}\)
\(A=\frac{n}{n+1}\)
Học tốt nha^^
Ta có : S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ..... + k(k + 1)(k + 2)
=> 4S = 1.2.3.4 - 1.2.3.4 + 2.3.4.5 - 2.3.4.5 + .... + k(k + 1)(k + 2)(k + 3)
= k(k + 1)(k + 2)(k + 3)
= (k2 + 3k)(k2 + 3k + 2)
Nên :4S + 1 = (k2 + 3k)(k2 + 3k + 2) + 1
Đặt k2 + 3k = t
Ta có : 4S + 1 = t(t + 2) + 1
= t2 + 2t + 1
= (t + 1)2
Vì k thuộc N nên : k2 + 3k thuôc N <=> t + 1 = k2 + 3k + 1 thuôc N
Vậy 4S + 1 là bình phương của 1 số tự nhiên
Ta có : C = |x-2016|+|x-2015|
=> C = |2016-x|+|x-2015|
Áp dụng công thức : \(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\)(Với a;b \(\in Z\))
\(\Rightarrow C\ge\left|2016-x+x-2015\right|=1\)
Vậy dấu "=" xảy ra khi :
\(\orbr{\begin{cases}x\le2016\\x\ge2015\end{cases}}\Rightarrow x=\hept{\begin{cases}2016\\2015\end{cases}}\)
Vậy với x = 2016 hoặc x = 2015 thì C đạt GTNN = 1
Ta có :
\(S=1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)
\(4S=1.2.3.4+2.3.4.4+3.4.5.4+...+k\left(k+1\right)\left(k+2\right).4\)
\(4S=1.2.3.\left(4-0\right)+2.3.4\left(5-1\right)+3.4.5\left(6-2\right)+...+k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+1-k-1\right)\)
\(4S=1.2.3.4-1.2.3.0+2.3.4.5-2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+...+k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)-\)
\(\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)
\(4S=\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)
\(\Rightarrow\)\(4S+1=\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\left(k+2\right)+1\)
Lại có tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương ( muốn chứng minh thì mình chứng minh luôn )
Vậy \(4S+1\) là bình phương của một số tự nhiên
Chúc bạn học tốt ~
S=1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+k(k+1)(k+2)
=> 4S=1.2.3.4+2.3.4.4+3.4.5.4+...+k(k+1)(k+2).4
<=> 4S=1.2.3.4+2.3.4(5-1)+3.4.5(6-2)+...+k(k+1)(k+2)[(k+3)-(k-1)]
<=> 4S=1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+...+k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1).k(k+1)(k+2)(k+3)
=> 4S=k(k+1)(k+2)(k+3)
=> 4S+1=k(k+1)(k+2)(k+3)+1 = k(k+3)(k+1)(k+2)+1 = (k2+3k)(k2+3k+2)+1
Đặt: n=k2+3k
=> 4S+1 = n(n+2)+1 = n2+2n+1 = (n+1)2.
=> 4S+1 = (k2+3k+1)2.
=> (4S+1) là bình phương của 1 số tự nhiên có giá trị là: (k2+3k+1)
Ví dụ: k=5 thì 4S+1=(25+15+1)2=412
Ta có: \(E=1.2.3+2.3.4+.....+n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)
\(\Rightarrow4E=1.2.3.4+2.3.4.\left(5-1\right)+......+n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left[\left(n+3\right)-\left(n-1\right)\right]\)
\(\Rightarrow4E=1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+....+\) \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)-\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)
\(\Rightarrow4E=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\)
\(\Rightarrow4E=n\left(n+3\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)=\left(n^2+3n\right)\left(n^2+3n+2\right)\)
Đặt n2 + 3n +1 = y
\(\Rightarrow4E+1=\left(y-1\right)\left(y+1\right)+1=y^2-1+1=y^2\)
\(\Rightarrow4E+1=\left(n^2+3n+1\right)^2\)
Vì n tự nhiên => n2 + 3n + 1 tự nhiên => 4E + 1 là số chính phương
=> đpcm.
Với \(k\in N;k>0\) Ta có :
\(\frac{1}{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}=\frac{1}{2}.\frac{\left(k+2\right)-k}{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{k\left(k+1\right)}-\frac{1}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}\right)\)
Áp dụng ta có :
\(\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+\frac{1}{3.4.5}+.....+\frac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1.2}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right)=\frac{1}{2}.\frac{n\left(n+1\right)-2}{2n\left(n+1\right)}=\frac{\left(n-1\right)\left(n+2\right)}{4n\left(n+1\right)}\)(đpcm)
Ta có :
\(\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+\frac{1}{3.4.5}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}=\frac{\left(n-1\right)\left(n+2\right)}{4n\left(n+1\right)}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{2}{1.2.3}+\frac{2}{2.3.4}+\frac{2}{3.4.5}+...+\frac{2}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}=\frac{2\left(n-1\right)\left(n+2\right)}{4n\left(n+1\right)}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+\frac{1}{3.4}-\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}=\frac{n\left(n-1\right)+2\left(n-1\right)}{2n\left(n+1\right)}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{2}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}=\frac{n^2-n+2n-2}{2n^2+2n}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{n\left(n+1\right)}{2n\left(n+1\right)}-\frac{2}{2n\left(n+1\right)}=\frac{n^2+n-2}{2n^2+2n}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{n^2+n-2}{2n^2+2n}=\frac{n^2+n-2}{2n^2+2n}\) với \(n\ge2\)
Vậy ...
dễ mà cô nương
\(a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\)
\(\left(a^2+ab+b^2\right)=\left\{\left(a+b\right)^2-ab\right\}\)
\(a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(25-6\right)=19\left(a-b\right)\)
ta có
\(a=-5-b\)
suy ra
\(a^3-b^3=19\left(-5-2b\right)\) " xong "
2, trên mạng đầy
3, dytt mọe mày ngu ab=6 thì cmm nó phải chia hết cho 6 chứ :)
4 . \(x^2-\frac{2.1}{2}x+\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}>0\) tự làm dcmm
5. trên mạng đầy
6 , trên mang jđầy
4S=1.2.3.4+2.3.4.4+3.4.5.4+...+k(k+1)(k+2).4=
=1.2.3.4+2.3.4(5-1)+3.4.5.(6-2)+...+k(k+1)(k+2)[(k+3)-(k-1)]=
=1.2.3.4-1.2.3.4+2.3.4.5-2.3.4.5+3.4.5.6-...-(k-1)k(k+1)(k+2)+k(k+1)(k+2)(k+3)=
=k(k+1)(k+2)(k+3)=k(k+3)(k+1)(k+2)=
=(k2+3k)(k2+3k+2)=(k2+3k)2+2(k2+3k)
=> 4S+1=(k2+3k)2+2(k2+3k)+1=[(k2+3k)+1]2