Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(a\left(b^2+c^2\right)+b\left(c^2+a^2\right)+c\left(a^2+b^2\right)+2abc=0\)
\(\Rightarrow ab^2+ac^2+bc^2+ba^2+c\left(a+b\right)^2=0\)
\(\Rightarrow ab\left(a+b\right)+c^2\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)^2=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(ab+c^2+ca+cb\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left[a\left(b+c\right)+c\left(b+c\right)\right]=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)=0\)
Từ đó a = -b hoặc b = -c hoặc c = -a
Nếu a = -b mà \(a^3+b^3+c^3=1\Rightarrow\left(-b\right)^3+b^3+c^3=1\Rightarrow c^3=1\Rightarrow c=1\)
Khi đó: \(A=\frac{1}{\left(-b\right)^{2017}}+\frac{1}{b^{2017}}+\frac{1}{1^{2017}}=0+1=1\)
Tương tự với các trường hợp b = -c và a = -c, ta tính được A = 1
1. Ta có : x + y + z = 0 \(\Rightarrow\)( x + y + z )2 = 0 \(\Rightarrow\)x2 + y2 + z2 = - 2 ( xy + yz + xz )\(S=\frac{x^2+y^2+z^2}{\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2+\left(x-y\right)^2}=\frac{-2\left(xy+yz+xz\right)}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)-2\left(yz+xz+xy\right)}\)
\(S=\frac{-2\left(xy+yz+xz\right)}{-4\left(xy+yz+xz\right)-2\left(yz+xz+xy\right)}=\frac{-2\left(xy+yz+xz\right)}{-6\left(xy+yz+xz\right)}=\frac{1}{3}\)
Ta có :\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=6\Rightarrow\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=36\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)=36\)
\(\Rightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=12\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\)
\(\Rightarrow\frac{2}{a^2}+\frac{2}{b^2}+\frac{2}{c^2}=\frac{2}{ab}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ca}\)
=> \(\frac{2}{a^2}+\frac{2}{b^2}+\frac{2}{c^2}-\frac{2}{ab}-\frac{2}{bc}-\frac{2}{ca}=0\)
=> \(\left(\frac{1}{a^2}-\frac{2}{ab}+\frac{1}{b^2}\right)+\left(\frac{1}{b^2}-\frac{2}{bc}+\frac{1}{c^2}\right)+\left(\frac{1}{c^2}-\frac{2}{ac}+\frac{1}{a^2}\right)=0\)
=> \(\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)^2+\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right)^2+\left(\frac{1}{c}-\frac{1}{a}\right)^2=0\)
=> \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=0\\\frac{1}{b}-\frac{1}{c}=0\\\frac{1}{c}-\frac{1}{a}=0\end{cases}}\Rightarrow\frac{1}{a}=\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\)
Khi đó \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=6\Leftrightarrow3\frac{1}{a}=6\Rightarrow\frac{1}{a}=2\Leftrightarrow\frac{1}{a}=\frac{1}{b}=\frac{1}{c}=2\)
Khi đó Đặt P = \(\left(\frac{1}{a}-3\right)^{2020}+\left(\frac{1}{b}-3\right)^{2020}+\left(\frac{1}{c}-3\right)^{2020}\)
= (2 - 3)2020 + (2 - 3)2020 + (2 - 3)2020
= 1 + 1 + 1 = 3
Vậy P = 3
Do \(a,b,c\)có vai trò như nhau nên ta giả sử \(a\ge b\ge c\).
\(3=a+b+c\le a+a+a\Rightarrow a\ge1\).
\(a^2+b^2+c^2=5\Rightarrow a^2\le5\Rightarrow a\in\left\{1,2\right\}\).
Với \(a=2\): \(\hept{\begin{cases}b+c=1\\b^2+c^2=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b=1\\c=0\end{cases}}\).
Với \(a=1\Rightarrow b=c=1\)thử vào phương trình \(a^2+b^2+c^2=5\)không thỏa mãn.
Vậy \(A=\left(a^2+2\right)\left(b^2+2\right)\left(c^2+2\right)=\left(2^2+2\right)\left(1^2+2\right)\left(0^2+2\right)=36=6^2\)là bình phương của một số nguyên.
3 bài thì thấy 1 bài có trên mạng rồi, buồn thật:( Bài cuối từ từ tí mở Maple lên check đề. Thấy lạ lạ không dám làm ngay:v
Bài 1: Ez game, chỉ là Buffalo Way, mà Ji Chen (tác giả BĐT Iran 96 có giải rồi, mình không giải lại): hard inequalities
Bài 2: Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(\frac{3x}{x+y+z};\frac{3y}{x+y+z};\frac{3z}{x+y+z}\right)\) rồi quy đồng lên xem.
Bài 3: Tí check đề cái đã.