Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
4.
\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ac}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)}{ab+bc+ca}\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{ab+bc+ca}=ab+bc+ca\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
5.
\(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}\ge2\sqrt{\frac{ab}{bc.ca}}=\frac{2}{c}\) ; \(\frac{a}{bc}+\frac{c}{ab}\ge\frac{2}{b}\) ; \(\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\ge\frac{2}{a}\)
Cộng vế với vế:
\(2\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\right)\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
1.
Áp dụng BĐT \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{ab}\right)^2+\left(\sqrt{bc}\right)^2+\left(\sqrt{ca}\right)^2\ge\sqrt{ab}.\sqrt{bc}+\sqrt{ab}.\sqrt{ac}+\sqrt{bc}.\sqrt{ac}\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca\ge\sqrt{abc}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\)
2.
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt[]{\frac{ab.bc}{ca}}=2b\) ; \(\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}\ge2a\) ; \(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge2c\)
Cộng vế với vế:
\(2\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge a+b+c\)
3.
Từ câu b, thay \(c=1\) ta được:
\(ab+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\ge a+b+1\)
Ta co:
\(VT=\Sigma_{cyc}\frac{a}{ca+1}=\Sigma_{cyc}\frac{a}{ca+abc}=\Sigma_{cyc}\frac{1}{c+bc}\)
Xet
\(\Sigma_{cyc}\frac{1}{c+bc}\le\frac{1}{4}\Sigma_{cyc}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{bc}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)=\frac{1}{4}\left(ab+bc+ca+a+b+c\right)\)
bdt can chung minh thanh
\(ab+bc+ca+a+b+c\le2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Ta lai co:
\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
Gio ta can chung minh:
\(a^2+b^2+c^2\ge a+b+c\)
Ta co hai danh gia:
\(a+b+c\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)
\(1=\sqrt[3]{abc}\le\frac{a+b+c}{3}\le\frac{\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}{3}\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge3\)
Suy ra can chung minh:
\(a^2+b^2+c^2\ge\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2+b^2+c^2-3\right)\ge0\) (đúng)
Dau '=' xay ra khi \(a=b=c=1\)
mn giup voi minh can gap lam
Vũ Minh TuấnBăng Băng 2k6Nguyễn Việt LâmPhạm Lan HươngNguyễn Huy Tú Nguyễn Thị Thùy TrâmNo choice teentthbảo phạmHo Nhat Minh
\(P=\frac{a^2}{a+\sqrt{bc}}+\frac{b^2}{b+\sqrt{ca}}+\frac{c^2}{c+\sqrt{ab}}\)
\(P\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}=\frac{1}{1+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}\ge\frac{1}{1+\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Từ bất đẳng thức Cô si ta có:
\(4\left(ab+bc+ca\right)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\le\left[\frac{ab+bc+ca}{ca}+ca\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\right]^2\)
\(\Rightarrow\)Ta cần chứng minh:
\(\frac{ab+bc+ca}{ca}+ca\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\le\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\)
Vì vai trò của a, b, c trong bất đẳng thức như nhau, nên không mất tính tổng quát ta giả sử \(a\ge b\ge c\)nên bất đẳng thức cuối cùng đùng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức, chú ý đến dấu đẳng thức xẩy ra thì ta được:
\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{3ab}+\frac{1}{3bc}+\frac{1}{3ca}\)sẽ lớn hơn hoặc bằng:
\(\frac{16}{a^2+b^2+c^2+3\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{16}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2=12\)
\(\Rightarrow\)Ta cần chứng minh: \(\frac{2}{3}\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)\ge18\)
Để ý tiếp bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:
\(\frac{2}{3}\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)\ge\frac{6}{ab+bc+ca}\ge\frac{6}{\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2}=18\)
Do đó ta có bất đẳng thức:
\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}\)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.