Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Từ bất đẳng thức Cô si ta có:
\(4\left(ab+bc+ca\right)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\le\left[\frac{ab+bc+ca}{ca}+ca\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\right]^2\)
\(\Rightarrow\)Ta cần chứng minh:
\(\frac{ab+bc+ca}{ca}+ca\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\le\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\)
Vì vai trò của a, b, c trong bất đẳng thức như nhau, nên không mất tính tổng quát ta giả sử \(a\ge b\ge c\)nên bất đẳng thức cuối cùng đùng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Đặt \(x=\frac{1}{a}, y=\frac{1}{b}, z=\frac{1}{c}, \Rightarrow x+y+z=2\)
Suy ra \(\frac{1}{a\left(2a-1\right)^2}+\frac{1}{b\left(2b-1\right)^2}+\frac{1}{c\left(2c-1\right)^2}=\frac{x^3}{\left(2-x\right)^2}+\frac{y^3}{\left(2-y\right)^2}+\frac{z^3}{\left(2-z\right)^2}\)
Ta có \(\frac{x^3}{\left(2-x\right)^2}+\frac{2-x}{8}+\frac{2-x}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{x^3}{\left(2-x\right)^2} .\frac{2-x}{8}.\frac{2-x}{8}}=\frac{3x}{4}.\)
\(\Rightarrow\frac{x^3}{\left(2-x\right)^2}\ge x-\frac{1}{2}\)\(\Rightarrow\frac{x^3}{\left(2-x\right)^2}+\frac{y^3}{\left(2-y\right)^2}+\frac{z^3}{\left(2-z\right)^2}\ge x+y+z-\frac{3}{2}=2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\)
dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{2}{3}\)hay \(a=b=c=\frac{3}{2}\)
bđt \(\Leftrightarrow\)\(\Sigma_{cyc}\frac{a^2}{2}+\Sigma_{cyc}\frac{a}{bc}\ge\frac{9}{2}\)
mặt khác: \(\Sigma_{cyc}\frac{a}{bc}=\frac{1}{2}\Sigma_{cyc}\left(\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\right)\ge\Sigma\frac{1}{a}\)\(\Rightarrow\)\(\Sigma_{cyc}\frac{a}{bc}\ge\Sigma_{cyc}\frac{1}{a}\)
do đó cần CM: \(\Sigma_{cyc}\frac{a^2}{2}+\Sigma_{cyc}\frac{1}{a}\ge\frac{9}{2}\) (1)
\(VT_{\left(1\right)}=\Sigma_{cyc}\left(\frac{a^2}{2}+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2a}\right)\ge3.\frac{3}{2}=\frac{9}{2}\)
"=" \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=1\)
\(P=\frac{a^2}{a+\sqrt{bc}}+\frac{b^2}{b+\sqrt{ca}}+\frac{c^2}{c+\sqrt{ab}}\)
\(P\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}=\frac{1}{1+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}\ge\frac{1}{1+\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
\(3=ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\le1\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{abc+a^2\left(b+c\right)}+\frac{1}{abc+b^2\left(c+a\right)}+\frac{1}{abc+c^2\left(a+b\right)}\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{a\left(ab+bc+ca\right)}+\frac{1}{b\left(ab+bc+ca\right)}+\frac{1}{c\left(ab+bc+ca\right)}\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{ab+bc+ca}{3abc}=\frac{1}{abc}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Cho bài toán phụ : Cho a ; b là các số thực dương
C/m : \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\ge\frac{2}{ab+1}\)
Do a ; b là các số thực dương \(\Rightarrow ab\ge1\)
Ta có : \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\ge\frac{2}{ab+1}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2+1}-\frac{1}{ab+1}+\frac{1}{b^2+1}-\frac{1}{ab+1}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab+1-a^2-1}{\left(a^2+1\right)\left(ab+1\right)}+\frac{ab+1-b^2-1}{\left(b^2+1\right)\left(ab+1\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(ab-a^2\right)\left(b^2+1\right)+\left(ab-b^2\right)\left(a^2+1\right)}{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(ab+1\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab^3-a^2b^2+ab-a^2+a^3b-a^2b^2+ab-b^2}{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(ab+1\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab\left(a^2+b^2\right)+2ab-2a^2b^2-a^2-b^2}{...}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a^2+b^2\right)\left(ab-1\right)-2ab\left(ab-1\right)}{...}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2\left(ab-1\right)}{...}\ge0\)
Dễ thấy mẫu luôn dương , tử \(\ge0\) => luôn đúng
=> BĐT được c/m
Áp dụng BĐT phụ ( từ bài toán phụ trên ) , ta có :
\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\ge\frac{2}{ab+1}+\frac{1}{c^2+1}=\frac{2c^2+2+ab+1}{\left(ab+1\right)\left(c^2+1\right)}=\frac{2c^2+ab+3}{\left(ab+1\right)\left(c^2+1\right)}\)
( * )
Có : \(\frac{2c^2+ab+3}{\left(ab+1\right)\left(c^2+1\right)}-\frac{3}{2}=\frac{4c^2+2ab+6-3abc^2-3c^2-3ab-3}{...}=\frac{c^2+3-ab-3abc^2}{...}=\frac{c^2+bc+ac-3abc^2}{...}=\frac{c\left(a+b+c-3abc\right)}{...}\)\(\left(ab+bc+ac=3\right)\) ( 1 )
Do a , b , c là các số thực dương , áp dụng BĐT Cô - si cho 3 số , ta có : \(\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ac\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=9abc\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge3abc\left(ab+bc+ac=3\right)\) ( 2 )
Từ ( 1 ) ; ( 2 ) \(\Rightarrow\frac{2c^2+ab+3}{\left(ab+1\right)\left(c^2+1\right)}-\frac{3}{2}\ge0\)
\(\Rightarrow\frac{2c^2+ab+3}{\left(ab+1\right)\left(c^2+1\right)}\ge\frac{3}{2}\) ( *' )
Từ (*) và (*') => ĐPCM
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Đề ra chưa hết kìa bạn.
à thôi cảm ơn mình ra rồi ạ