Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
a) Với \(m=0\) phương trình trở thành:
\((x^2-2x-3)(x^2-2x+3)=0\Leftrightarrow (x-3)(x+1)(x^2-2x+3)=0\)
\(\Rightarrow\left[\begin{matrix}x-3=0\\x+1=0\\x^2-2x+3=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow \) \(\left[\begin{matrix}x=3\\x=-1\\\left(x-1\right)^2+2=0\left(vl\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy \(x\in \left\{-1,3\right\}\)
b) Để PT có $4$ nghiệm phân biết thì phương trình \(x^2-2x+2m+3=0\) phải có hai nghiệm phân biệt khác \(-1\) và \(3\)
Tức là \(\left\{\begin{matrix} \Delta' =1-(2m+3)>0\\ 3^2-2.3+2m+3\neq 0\\ (-1)^2-2(-1)+2m+3\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m<-1\\ m\neq -3\\ \end{matrix}\right.\)
c) Áp dụng định lý Viet cho PT \(x^2-2x+2m+3=0\) có nghiệm thỏa mãn:\(\left\{\begin{matrix}x_3+x_4=2\\x_3x_4=2m+3\end{matrix}\right.\)
Có \(A=x_1x_2x_3x_4=-3x_3x_4=-3(2m+3)\)
Ta có với mọi \(x_3,x_4\in\mathbb{R}\) thì đều có \(x_3x_4\leq \left(\frac{x_3+x_4}{2}\right)^2=1\)
\(\Rightarrow -3x_3x_4\geq -3\) (khi nhân với số âm thì đổi dấu)
\(\Rightarrow A_{\min }=-3\Leftrightarrow m=-1\)
Câu b với c không liên quan đến nhau phải không? Nếu không thì không tìm được min đâu.
\(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)-2m\left(x^2-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)\left(x^2-2m+1\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2=1\\x^2=2m-1\end{matrix}\right.\)
Để pt có 4 nghiệm pb \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2m-1>0\\2m-1\ne1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>\frac{1}{2}\\m\ne1\end{matrix}\right.\)
TH1: \(2m-1>1\Rightarrow m>1\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=-\sqrt{2m-1}\\x_2=-1\\x_3=1\\x_4=\sqrt{2m-1}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow2\sqrt{2m-1}=6\)
\(\Rightarrow\sqrt{2m-1}=3\Rightarrow m=5\)
TH2: \(\frac{1}{2}< m< 1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=-1\\x_2=-\sqrt{2m-1}\\x_3=\sqrt{2m-1}\\x_4=1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow2=6\sqrt{2m-1}\Rightarrow\sqrt{2m-1}=\frac{1}{3}\Rightarrow m=\frac{5}{9}\)
1. Từ đề bài suy ra (x^2 -7x+6)=0 hoặc x-5=0
Nếu x-5=0 suy ra x=5
Nếu x^2-7x+6=0 suy ra x^2-6x-(x-6)=0
Suy ra x(x-6)-(x-6)=0 suy ra (x-1)(x-6)=0
Suy ra x=1 hoặc x=6.
bài 1 ; \(\left(x^2-7x+6\right)\sqrt{x-5}=0\)
\(< =>\orbr{\begin{cases}x^2-7x+6=0\left(+\right)\\\sqrt{x-5}=0\left(++\right)\end{cases}}\)
\(\left(+\right)\)ta dễ dàng nhận thấy \(1-7+6=0\)
thì phương trình sẽ có nghiệm là \(\orbr{\begin{cases}x=1\\x=\frac{c}{a}=6\end{cases}}\)
\(\left(++\right)< =>x-5=0< =>x=5\)
Vậy tập nghiệm của phương trình trên là \(\left\{1;5;6\right\}\)
\(a)\) Khi m=1 pt \(\Leftrightarrow\)\(x^2-2x=0\)\(\Leftrightarrow\)\(x\left(x-2\right)=0\)\(\Leftrightarrow\)\(\orbr{\begin{cases}x=0\\x=2\end{cases}}\)
Vậy pt có hai nghiệm phân biệt \(\hept{\begin{cases}x_1=0\\x_2=2\end{cases}}\) khi m=1
\(b)\)\(\Delta'=\left(-m\right)^2-\left(2m-2\right)=m^2-2m+2=\left(m-1\right)^2+1>0\)
Vậy pt (1) luôn có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) với mọi m
Ta có : \(x_1^2+x_2^2=12\)\(\Leftrightarrow\)\(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=12\) (*)
Theo định lý Vi-et ta có : \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=2m-2\end{cases}}\)
(*) \(\Leftrightarrow\)\(\left(2m\right)^2-2\left(2m-2\right)=12\)
\(\Leftrightarrow\)\(4m^2-4m-8=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(m^2-m-2=0\) (2)
Có \(\Delta=\left(-1\right)^2-4.\left(-2\right)=9>0\)
pt (2) có hai nghiệm phân biệt \(\hept{\begin{cases}m_1=\frac{-\left(-1\right)+\sqrt{9}}{2}\\m_2=\frac{-\left(-1\right)-\sqrt{9}}{2}\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m_1=2\\m_2=-1\end{cases}}}\)
Vậy để \(x_1^2+x_2^2=12\) thì \(\orbr{\begin{cases}m=-1\\m=2\end{cases}}\)
\(c)\) Ta có : \(A=\frac{6\left(x_1+x_2\right)}{x_1^2+x_2^2+4\left(x_1+x_2\right)}=\frac{6\left(x_1+x_2\right)}{\left(x_1+x_2\right)^2+4\left(x_1+x_2\right)-2x_1x_2}=\frac{6.2m}{\left(2m\right)^2+4.2m-2\left(2m-2\right)}\)
\(A=\frac{12m}{4m^2+4m+4}=\frac{3m}{m^2+m+1}\)\(\Leftrightarrow\)\(Am^2+\left(A-3\right)m+A=0\)
+) Nếu \(A=0\) thì \(m=0\)
+) Nếu \(A\ne0\) thì pt có nghiệm \(\Leftrightarrow\)\(\Delta\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(A-3\right)^2-4A.A\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(-3A^2-6A+9\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(A^2+2A-3\le0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(A+1\right)^2\le4\)
\(\Leftrightarrow\)\(-3\le A\le1\)
\(\Rightarrow\)\(A\le1\) dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\frac{3m}{m^2+m+1}=1\)\(\Leftrightarrow\)\(m=1\)
Vậy GTLN của \(A=1\) khi \(m=1\)
khi đó phương trình \(t^2-\left(3m+2\right)t+12m-8=0\) có 2 nghiệm phân biệt
\(t_1=\dfrac{3m+2+6-3m}{2}=4\Rightarrow x=\pm2\)
\(t_2=\dfrac{3m+2+3m-6}{2}=3m-2\Rightarrow x=\pm\sqrt{3x-2}\)
ta có : \(x_1;x_2\) đối sứng \(\Rightarrow x_1+2x_2+3x_3+4x_4=x_2+x_4\)
khi đó ta có : \(x_1+2x_2+3x_3+4x_4=x_2+x_4\) đạt giá trị max là \(2+\sqrt{3x-2}\)
để chắc chắn trong mọi trường hợp thì \(x_1+2x_2+3x_3+4x_4< 7\)
thì : \(2+\sqrt{3m-2}< 7\Leftrightarrow\sqrt{3m-2}< 5\Leftrightarrow3m-2< 25\)
\(\Leftrightarrow m< 9\)
kết hợp với điều kiện ta có : \(\dfrac{2}{3}< m< 9;m\ne2\)
để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình : \(t^2-\left(3m+2\right)t+12m-8\) có 2 nghiệm dương phân biệt (\(t=x^2\))
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\S>0\\P>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(3m+2\right)^2-4\left(12m-8\right)>0\\3m+2>0\\12m-8>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}9m^2-36m+36>0\\3m+2>0\\12m-8>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne2\\m>\dfrac{-2}{3}\\m>\dfrac{8}{12}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>\dfrac{2}{3}\\m\ne2\end{matrix}\right.\)
phương trình mà có 4 nghiệm phân biệt thì điều \(x_1< x_2< x_3< x_4\)
là điều dỉ nhiên
vậy \(m\ge\dfrac{2}{3};m\ne2\)
b/ x22 + x2 = x12 + x1
Chuyển thành --> x12 + x1 - x2 -x22 = 0
x12 -x22 ( Hằng đẳng thức) = (x1-x2)(x1+x2)
x1-x2=0
Có được (x1-x2)(x1+x2) -(x1+x2)=0
Thay vi - et vào ta có ( x1-x2) ( 2m) - ( 2m) =0
x1-x2=0
( x1-x2)2 =02
(x1+x2)2 -4x1.x2 =0
---> Thay vi-et vào được 4m2 -16=0 --> m= +2 và -2 ( xem điều kiện câu a để nhận hay loại)
a) Vì \(x=-2\)là một nghiệm của phương trình
\(\Rightarrow\)Thay \(x=-2\)vào pt(1) ta được:
\(\left(-2\right)^2-2.m.\left(-2\right)+4=0\)\(\Leftrightarrow4+4m+4=0\)
\(\Leftrightarrow4m+8=0\)\(\Leftrightarrow4m=-8\)\(\Leftrightarrow m=-2\)
Vậy \(m=-2\)