Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có : \(x^2-2\left(m-1\right)x+2m-5=0\left(a=1;b=-2m+2;c=2m-5\right)\)
\(\Delta=\left(-2m+2\right)^2-4\left(2m-5\right)=-4m^2+4-8m+20=4m^2-8m+24\ge0\)
Để phương trình có 2 nghiệm thì : \(4m^2-8m+24\ge0\)
Áp dụng hệ thức Vi et ta có : \(x_1+x_2=2m-2;x_1x_2=2m-5\)
Theo bài ra ta có : \(x_1^2\left(1-x_2\right)+x_2^2\left(1-x_1^2\right)=-8\)
\(\Leftrightarrow x_1^2-x_1^2x_2+x_2^2-x_1^2x_2^2=-8\)
Tự lm nốt
mk thấy trên mạng đề thế này : \(x_1^2\left(1-x_2^2\right)+x_2^2\left(1-x_1^2\right)=-8\)
\(\Delta=4m^2-4\left(2m-1\right)=4m^2-8m+4=\left(2m-2\right)^2\ge0\)
Do đó pt luôn có nghiệm
Theo Vi-ét :
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2m\\x_1x_2=2m-1\end{matrix}\right.\)
Ta có : \(A=x_1^2x_2+x_1x_2^2\)
\(A=x_1x_2\left(x_1+x_2\right)\)
\(A=\left(2m-1\right)\cdot\left(-2m\right)\)
\(A=-4m^2+2m\)
\(A=-4\left(m^2-\frac{1}{2}m\right)\)
\(A=-4\left(m^2-2\cdot m\cdot\frac{1}{4}+\frac{1}{16}-\frac{1}{16}\right)\)
\(A=\frac{1}{4}-4\left(m-\frac{1}{4}\right)^2\le\frac{1}{4}\forall m\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow m=\frac{1}{4}\)
Lời giải:
Ta thấy:
\(\Delta'=(-m)^2-(2m-3)=(m-1)^2+2>0, \forall m\in\mathbb{R}\)
Do đó pt luôn có hai nghiệm pb với mọi $m$
Áp dụng định lý Viete: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2m\\ x_1x_2=2m-3\end{matrix}\right.\)
Khi đó: \(A=x_1^2(1-x_2^2)+x_2^2(1-x_1^2)\)
\(=(x_1^2+x_2^2)-2(x_1x_2)^2\)
\(=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2-2(x_1x_2)^2\)
\(=4m^2-2(2m-3)-2(2m-3)^2\)
\(=-4m^2+20m-12=-(2m-5)^2+13\)
Vì \((2m-5)^2\geq 0\Rightarrow A\leq 0+13=13\)
Vậy $A$ đạt max bằng $13$ khi \((2m-5)^2=0\Leftrightarrow m=\frac{5}{2}\)
Ta có : \(x^2-2\left(m-1\right)x+2m-5=0\left(a=1;b=-2m+2;c=2m-5\right)\)
a, Để pt có 2 nghiệm phân biệt thì \(\Delta>0\)hay
\(\left(-2m+2\right)^2-4\left(2m-5\right)=4m^2+4-8m+20=4m^2-8m+24>0\)
b, Theo hệ thức Vi et ta có : \(x_1+x_2=2m-2;x_1x_2=2m-5\)
Theo bài ra ta có : mk để \(x_1;x_2\)lần lượt là \(a;b\)nhé
\(\left(a^2-2ma-b+2m-3\right)\left(b^2-2mb-a+2m-3\right)=19\)
Do a;b là nghiệm nên a;b thỏa mãn pt đã cho nghĩa : \(\hept{\begin{cases}a^2-2\left(m-1\right)a+2m-5=0\\a^2-2\left(m-1\right)b+2m-5=0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-2a+2\\-2b+2\end{cases}}\)Thay vào pt trên ta đc : \(\left(-2a+2\right)\left(-2b+2\right)=19\)
\(\Leftrightarrow4ab+2a^2-4a+2b^2+ab-2b-4b-2a+4=19\)
\(\Leftrightarrow2\left(a+b\right)^2-6\left(a+b\right)+ab=15\) Thay vào ta lại có pt mới :
\(2\left(2m-2\right)^2-6\left(2m-2\right)+2m-5=15\)
\(\Leftrightarrow2\left(4m-4\right)-12m+12+2m-5-15=0\)
\(\Leftrightarrow8m-8-12m+2m+12-5-15=0\)
\(\Leftrightarrow-2m-16=0\Leftrightarrow-2m=16\Leftrightarrow m=-8\)
\(\Delta\)' = (m+1)2-2m+5 = m2 +2m +1 - 2m +5 =m2 +6 >0 nên pt đã cho luôn có 2 nghiệm x1,x2 phân biệt với mọi m .
Ta có : (x12 -2mx1+2m-1)(x22 -2mx2 +2m+1)<0 (*)
Vì x1,x2 là nghiệm của phương trình 1 nên ta có :
x12 -2mx1+2x1 +2m -5 = 0 => x12 -2mx1+2m-1 +2x1 -4 =0
=>x12 -2mx1+2m-1 = 4-2x1 Tương tự ta có : x22 -2mx2+2m-1 = 4-2x2
khi đó (*) trở thành : (4-2x1)(4-2x2) <0 =>16-8x2-8x1+4x1x2 < 0
<=> 16-8(x1+x2)+4x1x2 <0
vì phương trình đầu luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m nên theo hệ thức viét ta có :\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=2m-5\end{matrix}\right.\)thay vào bất pt trên ta đc :
16-8.2(m-1)+4(2m-5)<0 => 16-16m+16+8m-20<0
12-8m<0 => m>\(\dfrac{3}{2}\)
Vậy m>\(\dfrac{3}{2}\)thì có 2 nghiệm x1 x2 thỏa mãn đề bài .
\(\Delta'=\left(m-1\right)^2-\left(2m-5\right)=\left(m-2\right)^2+2>0;\forall m\)
Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
Do \(x_1;x_2\) là nghiệm của pt nên: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1^2-2\left(m-1\right)x_1+2m-5=0\\x_2^2-2\left(m-1\right)x_2+2m-5=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1^2-2mx_1=-2x_1-2m+5\\x_2^2-2mx_2=-2x_2-2m+5\end{matrix}\right.\)
Thay vào bài toán:
\(\left(-2x_1-2m+5-x_2+2m-3\right)\left(-2x_1-2m+5-x_1+2m-3\right)=19\)
\(\Leftrightarrow\left(-2x_1-x_2+2\right)\left(-2x_2-x_1+2\right)=19\)
\(\Leftrightarrow2\left(x_1+x_2\right)^2-6\left(x_1+x_2\right)+x_1x_2-15=0\)
\(\Leftrightarrow8\left(m-1\right)^2-12\left(m-1\right)+2m-20=0\)
\(\Leftrightarrow4m^2-13m=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=\frac{13}{4}\end{matrix}\right.\)
ok, mk cảm ơn nh nha