Question

[Phạm Lê Đức Anh]

Cho p,q,r là các số nguyên tố thỏa mãn pⁿ+qⁿ=r². Chứng minh n=1

Answer 1

[Kudo Shinichi]

Trước hết ta có thể giả sử q=2 

* Nếu n là số nguyên dương lẻ thì ta có: 

\(p^n+2^n=\left(p+2\right)\left(\frac{p^n+2^n}{p+2}\right)=r^2\)  mà do r là số nguyên tố nên ta phải có: 

\(p+2=\frac{p^n+2^n}{p+2}=r\)

Nếu n là số lẻ và \(n\ge3\) thì ta có: \(\frac{p^n+2^n}{p+2}>p+2\)    từ đây ta dẫn đến một điều vô lý. Do đó, ta phải có: n=1.

* Nếu n là số chẵn, đặt n=2k  , \(k\in Z^+\) thì từ đây ta có: \(\left(p^k\right)^2+\left(2^k\right)^2=r^2\)  mà dễ thấy p  , r phải phân biệt nên đây là bộ ba Phythagore nên tồn tại  x,y:(x,y)  = 1 và x,y khác tính chẵn lẻ thỏa mãn: 

\(\hept{\begin{cases}p^k=2xy\\2^k=x^2-y^2\end{cases}}\)     hoặc \(\hept{\begin{cases}2^k=2xy\\p^k=x^2-y^2\end{cases}}\)

Mà p là số nguyên tố nên trường hợp này không xảy ra.

Vậy ta phải có: n=1

Chúc bạn học tốt !!!