Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A B D C N M E
Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với AN cắt CD tại E
Ta có AB=mAD nên \(\frac{AB}{AD}=m\)
Xét \(\Delta ABM\)và \(\Delta ADE\)có :
góc ABM = góc ADE =90
góc BAM =góc FAD (cùng phụ với góc DAN )
\(\Rightarrow\Delta ABM~\Delta ADF\left(g.g\right)\)\(\Rightarrow\frac{AM}{AF}=\frac{AB}{AD}=m\)\(\Rightarrow\frac{1}{AF}=\frac{m}{AM};\frac{1}{AD}=\frac{m}{AB}\)
Tam giác AFN VUÔNG TẠI A CÓ \(AD⊥FN\)\(\Rightarrow\frac{1}{AD^2}=\frac{1}{AF^2}+\frac{1}{AN^2}\)
HAY \(\left(\frac{m}{AB}\right)^2=\left(\frac{m}{AM}\right)^2+\frac{1}{AN^2}\Rightarrow\frac{m^2}{AB^2}=\frac{m^2}{AM^2}+\frac{1}{AN^2}\left(đpcm\right)\)
Để chứng minh 1) AE = AN, ta sẽ sử dụng định lí hai đường trung bình của tam giác.Theo định lí hai đường trung bình, AM là đường trung bình của tam giác ABC.Vì vậy, ta có AM = 1/2(AB + AC).Đồng thời, ta cũng có AN là đường trung bình của tam giác ADC.Từ đó, ta có AN = 1/2(AD + AC).Do đó, để chứng minh AE = AN, ta cần chứng minh AE = 1/2(AB + AD).Ta biết rằng AE là đường cao của tam giác ABC với cạnh AB.Vì vậy, ta có AE = √(AB^2 - AM^2) (với AM là đường trung bình của tam giác ABC)Tương tự, ta biết rằng AN là đường cao của tam giác ADC với cạnh AD.Vì vậy, ta cũng có AN = √(AD^2 - AM^2) (với AM là đường trung bình của tam giác ADC)
Bài 3:
Xét tứ giác BEDC có góc BEC=góc BDC=90 độ
nên BEDC là tứ giác nội tiếp
=>góc AED=góc ACB
=>ΔAED đồng dạng với ΔACB
=>ED/CB=AE/AC=(cos60)=1/2
=>ED=1/2CB=EM=DM
=>ΔMDE đều
a) + ΔABM = ΔADN ( g.c.g )
=> AM = AN
b) + ΔANI vuông tại A, đg cao AD
\(\Rightarrow\frac{1}{AD^2}=\frac{1}{AN^2}+\frac{1}{AI^2}\) ( theo hệ thức lượng trog Δ vuông )
\(\Rightarrow\frac{1}{AB^2}=\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AI^2}\)
Lời giải:
a)
Xét tam giác $AND$ và $AMB$ có:
\(\widehat{ADN}=\widehat{ABM}=90^0\)
\(\widehat{DAN}=\widehat{BAM}(=90^0-\widehat{DAM})\)
\(\Rightarrow \triangle AND\sim \triangle AMB(g.g)\Rightarrow \frac{AN}{AM}=\frac{AD}{AB}=1\) (do $ABCD$ là hình vuông nên $AB=AD$)
\(\Rightarrow AM=AN\) (đpcm)
b)
Ta thấy $MC\parallel AD$ nên áp dụng định lý Ta-let:
\(\frac{AM}{AI}=\frac{CD}{DI}\Rightarrow AM=\frac{AI.CD}{DI}\)
Từ đây kết hợp với điều kiện $AB=AD=CD$ và định lý Pitago ta có:
\(\Rightarrow \frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AI^2}=\frac{DI^2}{AI^2.CD^2}+\frac{1}{AI^2}=\frac{DI^2+CD^2}{AI^2.CD^2}=\frac{DI^2+AD^2}{AI^2.AB^2}=\frac{AI^2}{AI^2.AB^2}=\frac{1}{AB^2}\) (đpcm)