Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: Ta có: ABCD là hình bình hành
=>AB=CD(1)
Ta có: E là trung điểm của AB
=>\(EA=EB=\dfrac{AB}{2}\left(2\right)\)
Ta có: F là trung điểm của CD
=>\(FC=FD=\dfrac{CD}{2}\left(3\right)\)
Từ (1),(2),(3) suy ra EA=EB=FC=FD
Xét tứ giác AECF có
AE//CF
AE=CF
Do đó: AECF là hình bình hành
b: Xét tứ giác AEFD có
AE//FD
AE=FD
Do đó: AEFDlà hình bình hành
Hình bình hành AEFD có \(AE=AD\left(=\dfrac{AB}{2}\right)\)
nên AEFD là hình thoi
c: Xét tứ giác EBCF có
BE//FC
BE=FC
Do đó: EBCF là hình bình hành
Hình bình hành EBCF có \(EB=BC\left(=\dfrac{AB}{2}\right)\)
nên EBCF là hình thoi
=>EC\(\perp\)BF tại trung điểm của mỗi đường
=>EC\(\perp\)BF tại K và K là trung điểm chung của EC và BF
Ta có: AEFD là hình thoi
=>AF\(\perp\)ED tại trung điểm của mỗi đường
=>AF\(\perp\)ED tại I và I là trung điểm chung của AF và ED
Ta có: AEFD là hình thoi
=>EF=AD
mà AD=DC/2
nên EF=DC/2
Xét ΔEDC có
EF là đường trung tuyến
\(EF=\dfrac{CD}{2}\)
Do đó: ΔEDC vuông tại E
Xét tứ giác EIFK có
\(\widehat{EIF}=\widehat{EKF}=\widehat{IEK}=90^0\)
=>EIFK là hình chữ nhật
d: Để EIFK là hình vuông thì FI=FK
mà \(FI=\dfrac{FA}{2};FK=\dfrac{FB}{2}\)
nên FA=FB
=>ΔFAB cân tại F
Ta có: ΔFAB cân tại F
mà FE là đường trung tuyến
nên FE\(\perp\)AB
ta có: FE\(\perp\)AB
FE//AD
Do đó: AD\(\perp\)AB
A D F M E B C N
a) Tứ giác AEFD là hình thoi, tứ giác AECF là hình bình hành (tự chứng minh).
b) Tứ giác AECF là hình bình hành nên EN // FM. Tứ giác AECF là hình bình hành nên EM // FN. AEFD là hình thoi nên AF \(\perp\) DE.
Hình bình hành EMFN có \(\widehat{M}=90^o\) nên là hình chữ nhật.
c) Hình chữ nhật EMFN là hình vuông
\(\Leftrightarrow\) ME = MF \(\Leftrightarrow\) DE = AF (vì DE = 2ME, AF = 2MF)
\(\Leftrightarrow\) Hình thoi AEFD có hai đường chéo bằng nhau
\(\Leftrightarrow\) AEFD là hình vuông \(\Leftrightarrow\) \(\widehat{A}=90^o\).
\(\Leftrightarrow\) Hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.
Như vậy, hình chữ nhật EMFN là hình vuông nếu ABCD là hình chữ nhật.
a: Xét tứ giác AECF có
AE//CF
AE=CF
Do đó: AECF là hình bình hành
Bài 8:
a: Xét tứ giác AEFD có
AE//FD
AE=FD
Do đó: AEFD là hình bình hành
mà AE=AD
nên AEFD là hình thoi
Sửa đề: F là trung điểm của CD, K là giao điểm của CE và BF
a: Ta có: \(AE=EB=\dfrac{AB}{2}\)
\(DF=FC=\dfrac{DC}{2}\)
\(AD=BC=\dfrac{AB}{2}\)
mà AB=DC(ABCD là hình bình hành)
nên AE=EB=DF=FC=AD=BC
Xét tứ giác AECF có
AE//CF
AE=CF
Do đó: AECF là hình bình hành
b: Xét tứ giác AEFD có
AE//FD
AE=FD
Do đó: AEFD là hình bình hành
Hình bình hành AEFD có AE=AD
nên AEFD là hình thoi
c: Ta có: AEFD là hình thoi
=>AF\(\perp\)DE tại I và I là trung điểm chung của AF và DE
Xét tứ giác BEFC có
BE//FC
BE=FC
Do đó: BEFC là hình bình hành
Hình bình hành BEFC có BE=BC
nên BEFC là hình thoi
=>BF\(\perp\)EC tại K và K là trung điểm chung của BF và EC
Ta có: AEFD là hình thoi
=>EF=FD
=>EF=DC/2
Xét ΔEDC có
EF là đường trung tuyến
\(EF=\dfrac{DC}{2}\)
Do đó: ΔEDC vuông tại E
Xét tứ giác EIFK có \(\widehat{EIF}=\widehat{EKF}=\widehat{IEK}=90^0\)
nên EIFK là hình chữ nhật
d: Hình chữ nhật EIFK trở thành hình vuông khi EI=EK
mà \(EI=\dfrac{ED}{2};EK=\dfrac{EC}{2}\)
nên ED=EC
Xét ΔEDC có ED=EC
nên ΔEDC cân tại E
ΔEDC cân tại E
mà EF là đường trung tuyến
nên EF\(\perp\)DC
mà EF//AD
nên AD\(\perp\)DC
ABCDEFIK
a/
AB//CD (cạnh đối hbh) => AE//CF (1)
\(AE=\frac{AB}{2};CF=\frac{CD}{2}\) và \(AB=CD\) (cạnh đối hbh)
\(\rArr AE=CF\) (2)
Từ (1) và (2) \(\rArr AECF\) là hbh (Tứ giác có 1 cặp cạnh đối // và bằng nhau là hbh)
b/
C/m tương tự câu a ta cũng có AEFD là hbh
\(AE=\frac{AB}{2};AD=\frac{AB}{2}\rArr AE=AD\)
\(\rArr AEFD\) là hình thoi (hbh có 2 cạnh liên tiếp bằng nhau là hình thoi)
c/
AF//CE (cạnh đối hbh AECF) => IF//KE
C/m tương tự câu a ta cũng có BEDF là hbh
=>DE//BF =>IE//KF
=> EIFK là hbh (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)
Xét hình thoi AEFD có AF⊥DE (Trong hình thoi 2 đường chéo vuông góc)
=> EIFK là hình chữ nhật (hbh có 1 góc vuông là HCN)
d/
Khi EIFK là hình vuông
=> IE=IF
Mà \(IE=\frac{DE}{2};IF=\frac{AF}{2}\rArr DE=AF\)
Hình thoi AEFD có DE = AF => AEFD là hình vuông (Hình thoi có 2 đường chéo băng nhau là hình vuông)
=> ABCD là hình CN