Question

[Phan Thanh Tịnh]

Cho điểm D nằm trong tam giác đều ABC. Kẻ DM,DN,DP lần lượt vuông góc với AB,AC,BC. Chứng minh rằng khi điểm D di chuyển vị trí thì DM + DN + DP không đổi.

Answer 1

[Đinh Thùy Linh]

• Nối D với các đỉnh A;B;C của tam giác đều.
• Dễ thấy: \(S_{ABC}=S_{ABD}+S_{ACD}+S_{BCD}=\frac{1}{2}DM\cdot AB+\frac{1}{2}DN\cdot AC+\frac{1}{2}DP\cdot BC=\frac{1}{2}a\left(DM+DN+DP\right).\)trong đó a là cạnh của tam giác đều ABC.
• Diện tích và Cạnh tam giác ABC không thay đổi khi di chuyển điểm D nên: DM+DN+DP là không đổi.

Answer 2

[Hoàng Lê Bảo Ngọc]

A B C D M N P

Gọi a là cạnh của tam giác đều ABC, \(S\)là diện tích của tam giác đều ABC , \(x\)là diện tích tam giác ADB , \(y\)là diện tích tam giác ADC , \(z\)là diện tích tam giác BDC (x,y,z > 0)

Ta có : \(x+y+z=S\)

Mặt khác : \(x=\frac{a.DM}{2}\Rightarrow DM=\frac{2x}{a}\) ; tương tự : \(DN=\frac{2y}{a}\); \(DP=\frac{2z}{a}\)

\(\Rightarrow DM+DN+DP=\frac{2x}{a}+\frac{2y}{a}+\frac{2z}{a}=\frac{2}{a}\left(x+y+z\right)=\frac{2S}{a}\)(không đổi)

Vậy khi D di chuyển thì DM + DN + DP không đổi (đpcm)