Cho ba số sương x,y,z thoả mãn: xy + yz +xz = 12Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:\(M=x^4+y^4+z^...

K

Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

Mua vip

NT

Nguyễn Thị Thúy Ngân

25 tháng 5 2021

Cho ba số sương x,y,z thoả mãn: xy + yz +xz = 12

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(M=x^4+y^4+z^4\)

1

E

Etermintrude💫

25 tháng 5 2021

undefined

Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên

NH

Ngọc Hiền

15 tháng 4 2017

1)với x,y,z là các số nguyên thoả mãn x+y+z+xy+yz+xz=6.tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:\(\sqrt{4+x^4}+\sqrt{4+y^4}+\sqrt{4+z^4}\)

1

N

Neet

16 tháng 4 2017

trước hết ta chứng minh BĐT \(\sqrt{a^2+x^2}+\sqrt{b^2+y^2}+\sqrt{c^2+z^2}\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(x+y+z\right)^2}\)bình phương vế trái ta được:

\(a^2+b^2+c^2+x^2+y^2+z^2+2\left(\sqrt{a^2+x^2}.\sqrt{b^2+y^2}+\sqrt{b^2+y^2}.\sqrt{c^2+z^2}+\sqrt{a^2+x^2}.\sqrt{c^2+z^2}\right)\)

áp dụng BĐt bunyakovsky:

\(\sqrt{\left(a^2+x^2\right)\left(b^2+y^2\right)}\ge\sqrt{\left(ab+xy\right)^2}=ab+xy\)

tương tự với các bộ còn lại ta thu được :

\(VT^2\ge a^2+b^2+c^2+x^2+y^2+z^2+2\left(ab+bc+ca+xy+yz+xz\right)=VF^2\)

do đó BĐT trên đúng

Áp dụng vào bài toán:

\(\sqrt{4+x^4}+\sqrt{4+y^4}+\sqrt{4+z^4}\ge\sqrt{\left(2+2+2\right)^2+\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\)(*)

giờ tìm MIn của\(x^2+y^2+z^2\)

ta có:\(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2xz\)(1)

Áp dụng BĐT cauchy:\(x^2+1\ge2x;y^2+1\ge2y;z^2+1\ge2z\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)(2)

cộng theo vế (1) và (2):

\(3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge2\left(x+y+z+xy+yz+xz\right)=12\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\)

kết hợp với (*),ta có:

\(VT\ge\sqrt{36+9}=3\sqrt{5}\)

dấu = xảy ra khi x=y=z=1

NH

Ngọc Hiền

19 tháng 4 2017

thanks...

DP

Đặng Phương Nga

10 tháng 10 2019 - olm

Cho 3 số dương x, y, z thay đổi thoả mãn: \(\sqrt{\frac{xy}{z}}+\sqrt{\frac{xz}{y}}+\sqrt{\frac{yz}{x}}=3\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(P=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\frac{2016}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

1

KS

Kudo Shinichi

10 tháng 10 2019

Theo giả thiết \(\sqrt{\frac{yz}{x}}+\sqrt{\frac{xz}{y}}+\sqrt{\frac{xy}{z}}=3\)

\(\Rightarrow\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}+\frac{xy}{z}+2x+2y+2z=9\)

Mặt khác , ta có BĐT phụ : \(\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}+\frac{xy}{z}\ge x+y+z\)

\(\Rightarrow9\ge3\left(x+y+z\right)\)

\(\Leftrightarrow x+y+z\le3\)

Áp dụng BĐT Cauchy Shwarz \(\Rightarrow\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2\le3\left(x+y+z\right)\le9\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\le3\)

Ta có : \(P=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\frac{2016}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

\(=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\frac{9}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{2007}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

\(\ge2.\sqrt{9}+\frac{2007}{3}=675\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)

Chúc bạn học tốt !!!

TN

thảo nguyễn thị

13 tháng 9 2018 - olm

Cho ba số nguyên x,y,z thỏa mãn x^2+y^2+z^2=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Xy/z +xz/y + yz/x

0

DT

Dương Thiên Tuệ

8 tháng 1 2018 - olm

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x+y+z+xyz=4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q=\(\left(1+\frac{x}{y}+xz\right)\left(1+\frac{y}{z}+yz\right)\left(1+\frac{z}{x}+xz\right)\)

0

L

linh

23 tháng 1 2020 - olm

cho 3 số thực dương x,y,z thoả mãn x+y+z=4 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thưc:P=\(\frac{1}{xy}\)+\(\frac{1}{yz}\)

giúp mình với

1

ZC

zZz Cool Kid_new zZz

24 tháng 1 2020

\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}\ge\frac{4}{xy+yz}=\frac{4}{y\left(x+z\right)}=\frac{4}{y\left(4-y\right)}=\frac{4}{-y^2+4y}=\frac{4}{-\left(y^2-4y+4\right)+4}\ge1\)

Dấu "=" xảy ra tại \(x=z=1;y=2\)

BL

Bờ lều bờ lếu

1 tháng 4 2019 - olm

cho x,y là các số thực thỏa mãn \(x^2+y^2+z^2\le12\)

tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P= x+y+z+xy+yz+xz

giúp mình với =)

2

I

Incursion_03

1 tháng 4 2019

*Max

Có: \(x^2+4\ge4x\)

\(y^2+4\ge4y\)

\(z^2+4\ge4z\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+12\ge4\left(x+y+z\right)\)\(\Rightarrow x+y+z\le\frac{x^2+y^2+z^2+12}{4}\)

Lại có \(xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2\)(Auto chứng minh)

Cộng 2 vế của bdtd lại ta đc \(x+y+z+xy+yz+zx\le\frac{5\left(x^2+y^2+z^2\right)+12}{4}\)

\(=\frac{5.12+12}{4}=18\)

"=" KHI x = y= z = 2

*Min : ta có : \(12+2\left(xy+yz+zx\right)\ge x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\)

\(=\left(x+y+z\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow xy+yz+zx\ge-6\)

Dấu "=" xảy ra <=> x + y + z = 0

Với các giá trị trên ta đc \(x+y+z+xy+yz+zx\ge0-6=-6\)

Dấu "=" <=> x + y + z = 0 và x²+ y² + z² = 12

BL

Bờ lều bờ lếu

2 tháng 4 2019

bạn ơi mình giải thế này thì sao nhỉ:

đặt x+y+z=a=> \(a^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\)

=> \(xy+yz+zx=\frac{a^2-\left(x^2+y^2+z^2\right)}{2}\ge\frac{a^2-12}{2}\)

\(\Rightarrow P\ge a+\frac{a^2-12}{2}\ge-\frac{13}{2}\)( dùng hằng đẳng thức c/m)

dấu " =" <=> \(\hept{\begin{cases}x+y+z=-1\\x^2+y^2+z^2=12\end{cases}}\)

bạn xem thử hộ mik cái =)

DP

Đặng Phương Nga

4 tháng 10 2019 - olm

Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn \(x^2+y^2+z^2\le3xyz\)

Tìm giá trị lớn nhất của \(P=\frac{x^2}{x^4+yz}+\frac{y^2}{y^4+xz}+\frac{z^2}{z^4+xy}\)

1

KS

Kudo Shinichi

4 tháng 10 2019

Áp dụng BĐT AM - GM ta có :

\(P=\frac{x^2}{x^4+yz}+\frac{y^2}{y^4+xz}+\frac{z^2}{z^4+xy}\)

\(\le\frac{x^2}{2x^2\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{2y^2\sqrt{xz}}+\frac{z^2}{2z^2\sqrt{xy}}\)

\(=\frac{1}{2\sqrt{yz}}+\frac{1}{2\sqrt{xz}}+\frac{1}{2\sqrt{xy}}\)

\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{2}.\frac{xy+yz+xz}{xyz}\)

\(\le\frac{1}{2}.\frac{x^2+y^2+z^2}{xyz}\le\frac{1}{2}.\frac{3xyz}{xyz}=\frac{3}{2}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)

Chúc bạn học tốt !!!

BM

Blue Moon

1 tháng 1 2019 - olm

Cho x; y; z là các số nguyên thỏa mãn điều kiện: \(\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}+\frac{yz}{x}=3\)

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=x^3+y^3+z^3.\)

0

NT

Nguyễn Thanh Vân

5 tháng 3 2020 - olm

Cho 3 số dương x, y, z thay đổi thoả mãn:

\(\sqrt{\frac{xy}{z}}+\sqrt{\frac{xz}{y}}+\sqrt{\frac{yz}{x}}=3\) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu \(P=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\frac{2016}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

0