K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
SE
0
TD
0
PN
2
25 tháng 3 2019
1,\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2-2ab-2a-2b\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-1\right)^2\left(b-1\right)^2\ge0\)(Luôn đúng)
Dấu '=' xảy ra khi \(a=b=1\)
T
26 tháng 3 2019
2/Bổ sung đk a,b >= 0 (nếu a,b < 0,cho a=b=-2 suy ra a^3 + b^3 + 1 -3ab = -27 < 0)
Ta chứng minh BĐT \(x^3+y^3+z^3\ge3xyz\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3-3xyz\ge0\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right]\ge0\) (đúng)
Áp dụng vào,suy ra: \(a^3+b^3+1^3-3ab\ge3ab-3ab=0\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1
QT
1
T
23 tháng 3 2019
\(VT=\left(\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\right)+\frac{1}{2ab}\)
\(\ge\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{2ab}=4+\frac{1}{2ab}\)
Ta có: \(\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\ge ab\Rightarrow\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\ge2ab\) (BĐT AM-GM or CÔ si gì đó)
\(VT\ge4+\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}=4+2=6^{\left(đpcm\right)}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a^2+b^2=2ab\\a+b=1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2=0\\a+b=1\end{cases}}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}a=b\\a+b=1\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
PN
14 tháng 2 2016
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với hai số \(a,b\) không âm, ta có:
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\) \(\left(1\right)\)
\(ab+1\ge2\sqrt{ab}\) \(\left(2\right)\)
Nhân \(\left(1\right)\) với \(\left(2\right)\) vế theo vế, ta được:
\(\left(a+b\right)\left(ab+1\right)\ge4ab\) \(\left(đpcm\right)\)
Dấu \(''=''\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(a=b\) và \(ab=1\) \(\Leftrightarrow\) \(a=b=1\) (do \(a>0\) và \(b>0\), tức \(a,b\) dương)
Chú ý (không ghi): bài này có nhiều cách, bạn có thể tìm cách mới!
Áp dụng BĐT cô si ta có:
\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\ge\frac{2}{\sqrt{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)}}\)
\(\sqrt{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)}\le\frac{a^2+1+b^2+1}{2}=\frac{a^2+b^2+2}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\ge\frac{4}{a^2+b^2+2}\left(1\right)\)
Ta thấy: \(\frac{4}{a^2+b^2+2}=1-\frac{a^2+b^2-2}{a^2+b^2+2}\left(2\right)\)
Ta có: \(a^2+b^2+2\ge2ab+2=2\left(ab+1\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+b^2+2}\le\frac{1}{2\left(ab+1\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{-1}{a^2+b^2+2}\ge\frac{-1}{2\left(ab+1\right)}\)
Mà \(a^2+b^2-2\ge2\left(ab-1\right)\)
\(\Rightarrow1-\frac{a^2+b^2-2}{a^2+b^2+2}\ge1-\frac{2\left(ab-1\right)}{2\left(ab+1\right)}\)
\(=1-\frac{ab-1}{ab+1}=\frac{ab+1-ab+1}{ab+1}=\frac{2}{ab+1}\left(3\right)\)
Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\) và \(\left(3\right)\) suy ra:
\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\ge\frac{2}{ab+1}\) (Đpcm)