HT
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
25 tháng 1 2020
1) \(\Sigma\frac{a}{b^3+ab}=\Sigma\left(\frac{1}{b}-\frac{b}{a+b^2}\right)\ge\Sigma\frac{1}{a}-\Sigma\frac{1}{2\sqrt{a}}=\Sigma\left(\frac{1}{a}-\frac{2}{\sqrt{a}}+1\right)+\Sigma\frac{3}{2\sqrt{a}}-3\)
\(\ge\Sigma\left(\frac{1}{\sqrt{a}}-1\right)^2+\frac{27}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}-3\ge\frac{27}{2\sqrt{3\left(a+b+c\right)}}-3=\frac{3}{2}\)
5 tháng 12 2020
Đặt \(x=\sqrt{bc};y=\sqrt{ca};z=\sqrt{ab}\)\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+xyz=4\)\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2-4=2\left(xy+yz+zx\right)-xyz\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2-4\left(x+y-z\right)+4=\left(2-x\right)\left(2-y\right)\left(2-z\right)\)\(\le\left(\frac{6-x-y-z}{3}\right)^3\)
Đặt \(t=x+y+z\Rightarrow\left(t-6\right)^3+27\left(t^2-4t+4\right)\le0\)\(\Leftrightarrow\left(t-3\right)\left(t+6\right)^2\le0\Leftrightarrow\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\le3\left(đpcm\right)\)
Dấu '=' xảy ra <=> a=b=c=1
BL
5 tháng 12 2020
Mình chưa hiểu ở dòng thứ 3 tại sao bạn lại đánh giá đc nó nhỏ hơn hoặc bằng \(\left(\frac{6-x-y-z}{3}\right)^3\)
UK
10 tháng 11 2017
Cái này không khó :v
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel, ta có:
\(\dfrac{a^2}{a+b}+\dfrac{b^2}{b+c}+\dfrac{c^2}{a+c}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\dfrac{a+b+c}{2}\)
Face khác ;v, theo AM-GM, ta có
\(\dfrac{a+b+c}{2}\ge\dfrac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}=\dfrac{6}{2}=3\)
Vậy ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=2
10 tháng 11 2017
Ta có :
\(\frac{a^2}{a+b}=\frac{a^2+ab-ab}{a+b}=a-\frac{ab}{a+b}\le a-\frac{ab}{2\sqrt{ab}}=a-\frac{\sqrt{ab}}{2}\)(1)
Tương tự \(\hept{\begin{cases}\frac{b^2}{b+c}\le b-\frac{\sqrt{bc}}{2}\\\frac{c^2}{a+c}\le c-\frac{\sqrt{ac}}{2}\end{cases}}\)(2)
Nhhan (1);(2) lại ta được
\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{a+c}\ge a+b+c-\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}}{2}=a+b+c-3\)
Ta lại có : \(a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{bc}=6\) (tự cm)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{a+c}\ge6-3=3\)(đpcm)
T
17 tháng 6 2019
Ta có:\(\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}=\sqrt{\frac{bc}{a\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)}}\)
\(=\sqrt{\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}\right)\) (Áp dụng BĐT AM-GM)
Tương tự với hai BĐT còn lại và cộng theo vế ta thu được đpcm.
T
30 tháng 12 2018
Ta có: \(VT=\sqrt{1ab}+\sqrt{1bc}+\sqrt{1ca}\)
\(\le\frac{1+ab}{2}+\frac{1+bc}{2}+\frac{1+ca}{2}\) (cô si "ngược")
\(=\frac{3+ab+bc+ca+abc}{2}-\frac{abc}{2}=\frac{7}{2}-\frac{abc}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(ab=bc=ca=1\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Thay vào,ta có: \(VT\le\frac{7}{2}-\frac{abc}{2}=\frac{7}{2}-\frac{1}{2}=\frac{6}{2}=3=VP^{\left(đpcm\right)}\)
Vậy ..
HP
0
15 tháng 11 2017
ta có : \(P=\frac{\sqrt{bc}}{a+2\sqrt{bc}}+\frac{\sqrt{ac}}{b+2\sqrt{ac}}+\frac{\sqrt{ab}}{c+2\sqrt{ab}}\le\frac{\frac{1}{2}\left(b+c\right)}{a+b+c}+\frac{\frac{1}{2}\left(a+c\right)}{a+b+c}+\frac{\frac{1}{2}\left(a+b\right)}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow P\le\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)
=> GTLN của P là 1 khi a=b=c
Em thử dồn biến nha!
Chọn t>0 thỏa mãn \(t^2+2tc+t^2c=ab+bc+ca+abc\)
\(\Leftrightarrow\left(c+1\right)\left(t^2-ab\right)=c\left(a+b-2t\right)\)
Mặt khác từ cách chọn t ta cũng có: \(t^2+2tc+t^2c=4\)
\(\Leftrightarrow c=\frac{4-t^2}{t^2+2t}.\text{Mà c > 0}\Rightarrow0< t< 2\)
Giả sử \(t^2< ab\Rightarrow2t>a+b\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow t^2>ab\)(mâu thuẫn với giả sử)
Vậy giả sử tức là \(t^2\ge ab\). Đặt \(f\left(a;b;c\right)=\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)
Ta có: \(f\left(a;b;c\right)-f\left(t;t;c\right)=\sqrt{ab}-t+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}-2\sqrt{tc}\)
\(=\frac{ab-t^2}{\sqrt{ab}+t}+\frac{c\left(a+b-2t\right)+2c\left(\sqrt{ab}-t\right)}{\sqrt{bc}+\sqrt{ca}+2\sqrt{tc}}\)
\(=\frac{ab-t^2}{\sqrt{ab}+t}+\frac{\frac{2c\left(ab-t^2\right)}{\sqrt{ab}+t}-\left(c+1\right)\left(ab-t^2\right)}{\sqrt{bc}+\sqrt{ca}+2\sqrt{tc}}\)
\(=\left(ab-t^2\right)\left[\frac{1}{\sqrt{ab}+t}+\frac{\frac{2c}{\sqrt{ab}+t}-\left(c+1\right)}{\sqrt{bc}+\sqrt{ca}+2\sqrt{tc}}\right]\)
Đánh giá nốt cái ngoặc to bên trên > 0 (có lẽ là quy đồng, nếu làm ra thì mai em sẽ đăng, giờ buồn ngủ:v)
Khi đó ta có \(f\left(a;b;c\right)\le f\left(t;t;c\right)=f\left(t;t;\frac{4-t^2}{t^2+2t}\right)\)
\(=t+2\sqrt{\frac{t\left(4-t^2\right)}{t^2+2t}}\). Khảo sát hàm số (bước này làm chỉ mang tính chất "thủ tục" thôi ak) ta sẽ thấy \(f\left(t;t;\frac{4-t^2}{t^2+2t}\right)\) đạt max tại t= 1.
Khi đó \(f\left(t;t;\frac{4-t^2}{t^2+2t}\right)\le3\Rightarrow f\left(a;b;c\right)\le3\)
=> đpcm.
Cáo lỗi: "Vậy giả sử sai tức là \(t^2\ge ab\)" (vì đã viết "Vậy giả sử tức là \(t^2\ge ab\)"