Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1) \(\Sigma\frac{a}{b^3+ab}=\Sigma\left(\frac{1}{b}-\frac{b}{a+b^2}\right)\ge\Sigma\frac{1}{a}-\Sigma\frac{1}{2\sqrt{a}}=\Sigma\left(\frac{1}{a}-\frac{2}{\sqrt{a}}+1\right)+\Sigma\frac{3}{2\sqrt{a}}-3\)
\(\ge\Sigma\left(\frac{1}{\sqrt{a}}-1\right)^2+\frac{27}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}-3\ge\frac{27}{2\sqrt{3\left(a+b+c\right)}}-3=\frac{3}{2}\)
Đặt \(x=\sqrt{bc};y=\sqrt{ca};z=\sqrt{ab}\)\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+xyz=4\)\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2-4=2\left(xy+yz+zx\right)-xyz\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2-4\left(x+y-z\right)+4=\left(2-x\right)\left(2-y\right)\left(2-z\right)\)\(\le\left(\frac{6-x-y-z}{3}\right)^3\)
Đặt \(t=x+y+z\Rightarrow\left(t-6\right)^3+27\left(t^2-4t+4\right)\le0\)\(\Leftrightarrow\left(t-3\right)\left(t+6\right)^2\le0\Leftrightarrow\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\le3\left(đpcm\right)\)
Dấu '=' xảy ra <=> a=b=c=1
Mình chưa hiểu ở dòng thứ 3 tại sao bạn lại đánh giá đc nó nhỏ hơn hoặc bằng \(\left(\frac{6-x-y-z}{3}\right)^3\)
Đặt vế trái là P và \(\left(\sqrt{a};\sqrt{b};\sqrt{c}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z=4\)
Ta cần chứng minh: \(P=\frac{1}{xy+2yz+zx}+\frac{1}{xy+yz+2zx}+\frac{1}{2xy+yz+zx}\le\frac{1}{xyz}\)
\(P=\frac{1}{xy+yz+yz+zx}+\frac{1}{xy+yz+zx+zx}+\frac{1}{xy+xy+yz+zx}\)
\(P\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{xy}+\frac{2}{yz}+\frac{1}{zx}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{2}{zx}+\frac{2}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)\)
\(P\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{x+y+z}{xyz}\right)=\frac{1}{4}.\frac{4}{xyz}=\frac{1}{xyz}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{4}{3}\) hay \(a=b=c=\frac{16}{9}\)
Đề: \(\frac{1}{\sqrt{a^4-a^3+ab+2}}+\frac{1}{\sqrt{b^4-b^3+bc+2}}+\frac{1}{\sqrt{c^4-c^3+ca+2}}\le\sqrt{3}\) ???
*Ta chứng minh : \(x^4-x^3+2\ge x+1\forall x>0\)
\(\Leftrightarrow x^4-x^3-x+1\ge0\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(x^2+x+1\right)\ge0\) ( đúng )
Do đó: \(VT\le\frac{1}{\sqrt{ab+a+1}}+\frac{1}{\sqrt{bc+b+1}}+\frac{1}{\sqrt{ca+c+1}}\) \(\le\sqrt{3\left(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+c+1}\right)}=\sqrt{3}\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Em thử dồn biến nha!
Chọn t>0 thỏa mãn \(t^2+2tc+t^2c=ab+bc+ca+abc\)
\(\Leftrightarrow\left(c+1\right)\left(t^2-ab\right)=c\left(a+b-2t\right)\)
Mặt khác từ cách chọn t ta cũng có: \(t^2+2tc+t^2c=4\)
\(\Leftrightarrow c=\frac{4-t^2}{t^2+2t}.\text{Mà c > 0}\Rightarrow0< t< 2\)
Giả sử \(t^2< ab\Rightarrow2t>a+b\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow t^2>ab\)(mâu thuẫn với giả sử)
Vậy giả sử tức là \(t^2\ge ab\). Đặt \(f\left(a;b;c\right)=\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)
Ta có: \(f\left(a;b;c\right)-f\left(t;t;c\right)=\sqrt{ab}-t+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}-2\sqrt{tc}\)
\(=\frac{ab-t^2}{\sqrt{ab}+t}+\frac{c\left(a+b-2t\right)+2c\left(\sqrt{ab}-t\right)}{\sqrt{bc}+\sqrt{ca}+2\sqrt{tc}}\)
\(=\frac{ab-t^2}{\sqrt{ab}+t}+\frac{\frac{2c\left(ab-t^2\right)}{\sqrt{ab}+t}-\left(c+1\right)\left(ab-t^2\right)}{\sqrt{bc}+\sqrt{ca}+2\sqrt{tc}}\)
\(=\left(ab-t^2\right)\left[\frac{1}{\sqrt{ab}+t}+\frac{\frac{2c}{\sqrt{ab}+t}-\left(c+1\right)}{\sqrt{bc}+\sqrt{ca}+2\sqrt{tc}}\right]\)
Đánh giá nốt cái ngoặc to bên trên > 0 (có lẽ là quy đồng, nếu làm ra thì mai em sẽ đăng, giờ buồn ngủ:v)
Khi đó ta có \(f\left(a;b;c\right)\le f\left(t;t;c\right)=f\left(t;t;\frac{4-t^2}{t^2+2t}\right)\)
\(=t+2\sqrt{\frac{t\left(4-t^2\right)}{t^2+2t}}\). Khảo sát hàm số (bước này làm chỉ mang tính chất "thủ tục" thôi ak) ta sẽ thấy \(f\left(t;t;\frac{4-t^2}{t^2+2t}\right)\) đạt max tại t= 1.
Khi đó \(f\left(t;t;\frac{4-t^2}{t^2+2t}\right)\le3\Rightarrow f\left(a;b;c\right)\le3\)
=> đpcm.