TN
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
VT
18 tháng 5 2017
đặt x = a; y = b/2; z = c/3. khi đó ta có \(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\le1.\)
quy đồng, nhân chéo ta được (1+x)(1+y) + (1+y)(1+z) + (1+z)(1+x) \(\le\)(1+x)(1+y)(1+z).
nhân phá ngoặc, rút gọn ta được x + y + z + 2 \(\le\)xyz. (1)
mặt khác ta có \(1\ge\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\ge\frac{9}{\left(1+x\right)+\left(1+y\right)+\left(1+z\right)}\ge\frac{9}{x+y+z+3}\)
nên x+ y + z \(\ge\)6 (2)
từ (1) và (2) suy ra xyz \(\ge\)8 hay S = abc \(\ge\)48.
dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 2 hay a = 2; b = 4; c = 6.
vậy Min S = 48.
TN
1
11 tháng 12 2017
bài này easy thôi:
Áp dụng BĐT schwarz ta có:
\(VT=\frac{a^4}{a\left(a^2+ab+b^2\right)}+\frac{b^4}{b\left(b^2+bc+c^2\right)}+\frac{c^4}{c\left(c^2+ac+a^2\right)}\)
\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a\left(a^2+ab+b^2\right)+b\left(b^2+bc+c^2\right)+c\left(c^2+ac+a^2\right)}.\)
Mặt khác \(a\left(a^2+ab+b^2\right)+b\left(b^2+bc+c^2\right)+c\left(c^2+ac+a^2\right)\)\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right).\)
nên ta có:\(VT\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}=a^2+b^2+c^2.\)
Mà ta có BĐT cơ bản là:\(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2.\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge1\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{1}{3}.\)
Do đó:\(VT\ge a^2+b^2+c^2\ge\frac{1}{3}.\)
Vậy Min là \(\frac{1}{3}.\)Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}.\)
24 tháng 8 2021
1/ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel :
\(A\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{3}=\frac{3}{3}=1\)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1
24 tháng 10 2020
Ta có:
\(\frac{1}{a+2}+\frac{3}{b+4}\le1-\frac{2}{c+3}\)
\(\Rightarrow1-\frac{1}{a+2}\ge\frac{3}{b+4}+\frac{2}{c+3}\ge2\sqrt{\frac{6}{\left(b+4\right)\left(c+3\right)}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+1}{a+2}\ge2\sqrt{\frac{6}{\left(b+4\right)\left(c+3\right)}}\left(1\right)\)
Tương tự : \(1-\frac{3}{b+4}\ge\frac{1}{a+2}+\frac{2}{c+3}\ge2\sqrt{\frac{2}{\left(a+2\right)\left(c+3\right)}}\Leftrightarrow\frac{b+1}{b+4}\ge2\sqrt{\frac{2}{\left(a+2\right)\left(c+3\right)}}\left(2\right)\)
và \(\frac{c+1}{c+3}\ge2\sqrt{\frac{3}{\left(a+2\right)\left(b+4\right)}}\left(3\right)\)
Từ 1,2,3 ta có:
\(\frac{a+1}{a+2}.\frac{b+1}{b+4}.\frac{c+1}{c+3}\ge\frac{48}{\left(a+2\right)\left(b+4\right)\left(c+3\right)}\Leftrightarrow Q\ge48\)
Vậy Min Q =48 khi a=1,b=5,c=3
TP
0
SL
1 tháng 7 2017
Dễ tính đc
\(C=\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{c-1}\ge2\sqrt{\frac{a^2b^2}{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}}\)
Lại có
\(\frac{a^2}{1\left(a-1\right)}\ge\frac{a^2}{\left(\frac{a-1+1}{2}\right)^2}=4\)
lm tương tự ta đc min