Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cauchy Schwars
\(M\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge9\Rightarrow M_{min}=9\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
\(M=\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge9\)
Dau '=' xay ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Vay \(M_{min}=9\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki,ta có:
\(\left(1+\dfrac{1}{a^2}\right)+\left(1+\dfrac{1}{b^2}\right)\)\(\geq\) \(\dfrac{\left(1+1+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)^2}{2}\)\(\geq\) \(\dfrac{\left(1+1+\dfrac{4}{a+b}\right)^2}{2}\) = \(\dfrac{\left(2+4\right)^2}{2}\) =18
Từ đó suy ra: \(\left(1+\dfrac{1}{a^2}\right)+\left(1+\dfrac{1}{b^2}\right)\)\(\geq\) 18
Dấu = xảy ra khi a=b= \(\dfrac{1}{2}\)
Vậy MinM = 18 khi và chỉ khi a=b=\(\dfrac{1}{2}\)
ủa trước khi đăng câu hỏi nó ko hiện cái bảng có n~ Câu hỏi tương tự à? Vào tìm hộ cái
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
\(P=\dfrac{a^2}{a^2+2bc}+\dfrac{b^2}{b^2+2ac}+\dfrac{c^2}{c^2+2ab}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac}=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=1\)
Bài 1:
a^2-5ab-6b^2=0
=>a^2-6ab+ab-6b^2=0
=>a*(a-6b)+b(a-6b)=0
=>(a-6b)(a+b)=0
=>a=-b hoặc a=6b
TH1: a=-b
\(A=\dfrac{-2b-b}{-3b-b}+\dfrac{5b+b}{-3b+b}=\dfrac{-3}{-4}+\dfrac{6}{-2}=\dfrac{3}{4}-3=-\dfrac{9}{4}\)
TH2: a=6b
\(A=\dfrac{12b-b}{18b-b}+\dfrac{5b-6b}{18b+b}=\dfrac{11}{17}+\dfrac{-1}{19}=\dfrac{192}{323}\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(\left(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\right)(a^2+b^2+2ab)\geq (1+1)^2\)
\(\Leftrightarrow P(a+b)^2\geq 4\Rightarrow P\geq \frac{4}{(a+b)^2}\)
Mà \(0< a+b\leq 4\Rightarrow (a+b)^2\leq 16\)
\(\Rightarrow P\geq \frac{4}{(a+b)^2}\geq \frac{4}{16}=\frac{1}{4}\)
Vậy GTNN của $P$ là $\frac{1}{4}$ khi $a=b=2$
a/ Áp dụng cosi được:
\(A=ad+bc\ge2\sqrt{abcd}=2\)
Vậy GTNN là A = 2
b/ \(B=\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge\left(a+b+c\right).\dfrac{9}{a+b+c}=9\)
bạn ơi phần b sao lại ra như thế được? vẫn cosi hay j khác vậy Hung nguyen...
\(A=\frac{x}{x+1}-\frac{3-3x}{x^2-x+1}+\frac{x+4}{x^3+1}\)
\(A=\frac{x\left(x^2-x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}-\frac{3-3x}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}+\frac{x+4}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}\)
\(A=\frac{x^3-x^2+x-3-3x+x+4}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}\)
\(A=\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}=\frac{1}{x^3+1}\)
Bài 3:
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{3}{10}\)
=>3a=10b
=>\(a=\dfrac{10b}{3}\)
Do đó:\(B=\dfrac{4a\left(4a-10b\right)}{4a\left(2a-6b\right)}=\dfrac{a+3a-10b}{\dfrac{2.10b-18b}{3}}=\dfrac{a}{\dfrac{2}{3}b}=\dfrac{3a}{2b}\)
\(=\dfrac{\dfrac{3.10b}{3}}{2b}=\dfrac{10b}{2b}=5\)
bài 3 : a, cho \(3a^2+3b^2=10ab\) và b>a>0. tính gt biểu thức A= \(\dfrac{a-b}{a+b}\)
\(3a^2+3b^2=10ab\)
\(\Rightarrow3a^2-10ab+3b^2=0\)
\(\Rightarrow3a^2-9ab-ab+3b^2=0\)
\(\Rightarrow\left(3a^2-9ab\right)-\left(ab-3b^2\right)=0\)
\(\Rightarrow3a\left(a-3b\right)-b\left(a-3b\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a-3b\right)\left(3a-b\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a-3b=0\\3a-b=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=3b\left(loai\right)\\a=\dfrac{b}{3}\end{matrix}\right.\)
a= 3b loại vì b > a > 0
Thay \(a=\dfrac{b}{3}\) vào biểu thức A ,có :
\(\dfrac{\dfrac{b}{3}-b}{\dfrac{b}{3}+b}=\dfrac{\dfrac{b-3b}{3}}{\dfrac{b+3b}{3}}=\dfrac{b-3b}{3}.\dfrac{3}{b+3b}=\dfrac{-2b}{4b}=-\dfrac{1}{2}\)
Vậy A =-1/2
b, tương tự tìm a theo b rồi thay vào biểu thức
Nếu bn ko lm đc thì bảo mk nha
a) \(B=\)\(\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}}{\dfrac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}}\) ĐKXĐ: x>0
=\(\dfrac{\dfrac{\sqrt{x}+1+\sqrt{x}.\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}}{\dfrac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}}\)
\(=\dfrac{x+\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}:\dfrac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}\)
=\(\dfrac{x+\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}\times\dfrac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\)
\(=\dfrac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\)
b)
Theo câu a ) ta có :
B=\(\dfrac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\)
Xét : \(x+\sqrt{x}+1=x+2.\sqrt{x}.\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}\)
=\(\left(\sqrt{x}+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\) (với mọi x>0) (1)
Xét:
\(\sqrt{x}>0\) (2)
Từ (1) và (2) =>\(\dfrac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}>0\) (ĐPCM)
c) B=\(\dfrac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\) ( theo câu a)
=\(\dfrac{x}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}+1\)
=\(\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}+1\)
Áp dụng BĐT cô si cho \(\sqrt{x}\)và \(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\)
Ta có : \(\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\ge2\sqrt{\sqrt{x}.\dfrac{1}{\sqrt{x}}}\)
=2
Vậy :\(\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}+1\ge2+1\)
Hay\(\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}+1\ge3\)
Min B= 3 Dấu "=" xảy ra khi x=1
CHÚC BẠN HỌC TỐT
Đầu tiên ta chứng minh bđt:\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{ab}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Áp dụng \(\Rightarrow P=\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}\ge\dfrac{4}{a^2+b^2+2ab}=\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}\ge\dfrac{4}{4^2}=\dfrac{1}{4}\)
\(\Rightarrow MINP=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow a=b=2\)