Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có a < b + c
=> 2a < a + b + c = 2
=> a < 1
Tương tự b < 1, c < 1
Từ đó ta có (1 - a)(1 - b)(1 - c) > 0
<=> -abc + ab + bc + ca - a - b - c + 1 > 0
<=> abc < ab + bc + ca - 1
<=> 2abc < 2(ab + bc + ca) - 2
a2 + b2 + c2 + 2abc < a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) - 2 = (a + b + c)2 - 2 = 2
Điều phải cm tương đương với
\(\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)+2abc< 2\)
\(4-2\left(ab+bc+ca\right)+2abc-2< 0\)
\(2-ab-bc-ca+abc-1< 0\)
Ta có: a,b,c là 3 cạnh của tam giác nên thỏa mãn bđt:\(\hept{\begin{cases}c< a+b\\b< c+a\\a< c+b\end{cases}}\)<=>\(\hept{\begin{cases}2c< a+b+c\\2b< a+b+c\\2a< a+b+c\end{cases}}\)=>\(\hept{\begin{cases}c< 1\\b< 1\\a< 1\end{cases}}\)
=>\(\left(c-1\right)\left(b-1\right)\left(a-1\right)< 0\)
<=> \(abc-ab-bc-ca+a+b+c-1< 0\)
<=> \(abc-ab-bc-ca+2-1< 0\)(do a+b+c=2)
đpcm
Do 0 < a,b,c < 1 nên (a - 1)(b - 1)(c - 1) < 0
hay abc < ab + bc + ca - (a + b + c) + 1 = ab + bc + ca - 1
suy ra:a2 + b2 + c2 + 2abc < a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca - 1) = (a + b + c)2 - 2 = 22 - 2 = 2
a, b, c là độ dài 3 cạnh của tgiác nên ta có: b+c > a => ab+ac > a²
tương tự: bc+ab > b²; ca+bc > c²
cộng lại: 2ab+2bc+2ca > a²+b²+c² (*)
g thiết: 4 = (a+b+c)² = a²+b²+c² + 2ab+2bc+2ca > a²+b²+c² + a²+b²+c² {ad (*)}
=> 2 > a²+b²+c² (đpcm)
Nguyet9ak47 mk ko bt có đúng ko nhưng bn tham khảo nhé:
ta co a+b>c suy ra 2c<a+b+c=2 =>c<1,a<1,b<1
(1-a)(1-b)(1-c)>0
=>ab+bc+ac>1+abc
lai co
4=2(ab+bc+ac)+a2+b2+c2
tu do suy ra
4>a2+b2+c2+2(1+abc)=>a2+b2+c2+2abc<2=>... a,b,c>0)
P/s: Nguyet9ak47, Chứng minh rằng sao bn ko viết là CMR
Câu trả lời hay nhất: Tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a,b,c và có chu vi là 2
--> a + b + c = 2
Trong 1 tam giác thì ta có:
a < b + c
--> a + a < a + b + c
--> 2a < 2
--> a < 1
Tương tự ta có : b < 1, c < 1
Suy ra: (1 - a)(1 - b)(1 - c) > 0
⇔ (1 – b – a + ab)(1 – c) > 0
⇔ 1 – c – b + bc – a + ac + ab – abc > 0
⇔ 1 – (a + b + c) + ab + bc + ca > abc
Nên abc < -1 + ab + bc + ca
⇔ 2abc < -2 + 2ab + 2bc + 2ca
⇔ a² + b² + c² + 2abc < a² + b² + c² – 2 + 2ab + 2bc + 2ca
⇔ a² + b² + c² + 2abc < (a + b + c)² - 2
⇔ a² + b² + c² + 2abc < 2² - 2 , do a + b = c = 2
⇔ a² + b² + c² + 2abc < 2
--> đpcm
p/s: kham khảo
Ta thấy trong tam giác tổng độ dài hai cạnh luôn lớn hơn cạnh còn lại
Ta có: \(a+b>c\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2>c^2\)
\(\Rightarrow c\left(a+b\right)^2>c^3\)
Tương tự:
\(a\left(b+c\right)^2>a^3\)
\(b\left(a+c\right)^2>b^3\)
do đó \(a\left(b+c\right)^2+b\left(a+c\right)^2+c\left(a+b\right)^2>a^3+b^3+c^3\left(ĐPCM\right)\)
Ta có:
\(a\left(b-c\right)^2+b\left(c-a\right)^2+c\left(a+b\right)^2-a^3-b^3-c^3\)
\(=\left[a\left(b-c\right)^2-a^3\right]+\left[b\left(c-a\right)^2-b^3\right]+\left[c\left(a+b\right)^2-c^3\right]\)
\(=a\left[\left(b-c\right)^2-a^2\right]+b\left[\left(c-a\right)^2-b^2\right]+c\left[\left(a+b\right)^2-c^2\right]\)
\(=a\left(b-c-a\right)\left(b-c+a\right)+b\left(c-a-b\right)\left(c-a+b\right)+c\left(a+b-c\right)\left(a+b+c\right)\)
\(=a\left(b-c-a\right)\left(b-c+a\right)-b\left(c-a-b\right)\left(a+b-c\right)+c\left(a+b-c\right)\left(a+b+c\right)\)
\(=\left(a+b-c\right)\left[a\left(b-c-a\right)-b\left(c-a+b\right)+c\left(a+b+c\right)\right]\)
\(=\left(a+b-c\right)\left(ab-ac-a^2-bc+ab-b^2+ca+cb+c^2\right)\)
\(=\left(a+b-c\right)\left(2ab-a^2-b^2+c^2\right)\)
\(=\left(a+b-c\right)\left[c^2-\left(a^2-2ab+b^2\right)\right]\)
\(=\left(a+b-c\right)\left[c^2-\left(a-b\right)^2\right]\)
\(=\left(a+b-c\right)\left(c-a+b\right)\left(c+a-b\right)\)
vì a, b, c là cạnh của 1 tam giác
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b-c>0\\c-a+b>0\\c+a-b>0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow a\left(b-c\right)^2+b\left(c-a\right)^2+c\left(a+b\right)^2-a^3-b^3-c^3>0\)
\(\Rightarrow a\left(b-c\right)^2+b\left(c-a\right)^2+c\left(a+b\right)^2>a^3+b^3+c^3\)\(\left(đpcm\right)\)
Theo bđt trong tam giác thì \(\hept{\begin{cases}a< b+c\\b< c+a\\c< a+b\end{cases}}\)
Khi đó \(\hept{\begin{cases}2a< a+b+c\\2b< a+b+c\\2c< a+b+c\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2a< 2\\2b< 2\\2c< 2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a< 1\\b< 1\\c< 1\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)>0\)
\(\Leftrightarrow1-\left(a+b+c\right)+ab+bc+ca-abc>0\)
\(\Leftrightarrow1-2+ab+bc+ca>abc\)
\(\Leftrightarrow-1+ab+bc+ca>abc\)
\(\Leftrightarrow-2+2ab+2bc+2ca>2abc\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)-2>a^2+b^2+c^2+2abc\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2-2>a^2+b^2+c^2+2abc\)
\(\Leftrightarrow2>a^2+b^2+c^2+2abc\left(đpcm\right)\)