Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\Leftrightarrow3\left(a^3+b^3\right)\ge3ab\left(a+b\right)\Leftrightarrow4\left(a^3+b^3\right)\ge a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)=\left(a+b\right)^3\)
<=> \(2^3\ge\left(a+b\right)^3\)
Ta có : b = 1 - a, do đó M= a3+(1-a)3 = 3 (a-1/2)2 + 1/4 ≥ 1/4. Dấu "=" xảy ra khi a = 1/2
Vậy min M = 1/4 a=b=1/2
Không biết đúng k nữa,sai thì nói mình nha
\(a+b=1\Rightarrow\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2=1\)
\(\Rightarrow ab=\frac{1-a^2-b^2}{2}\)
\(\Rightarrow M=a^3+b^3=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)=1-3ab\)
\(=1-\frac{3-3a^2-3b^2}{2}\)
Để M nhỏ nhất
\(\Rightarrow\frac{3-3\left(a^2+b^2\right)}{2}\)phải có Max
=> \(3-3\left(a^2+b^2\right)\)đạt Max
Có \(3-3\left(a^2+b^2\right)\le3\left(Dấu"="xayrakhia=0;b=0\right)\)
Vậy Min M = 1-3/2=-1/2
Với a = 0 ; b = 0
M=a3+b3
=(a+b)(a2 +b2 + ab) ( hằng đẳng thức)
Mà a+b=1 nên:
M=a2 +b2 - ab
M= ( a^2 + b^2 + 2ab) - 3ab
M= ( a+b)2 - 3ab
Lại có a+b=1 nên:
M= 12 - 3ab = 1 - 3ab
3ab \(\le\)\(\frac{3\left(a+b\right)^2}{4}\)
=> M \(\ge\)\(-\)\(\frac{3\left(a+b\right)^2}{4}\) = 1-3/4 = 1/4
Do đó MinM = 1/4
=>a=b=1/2
\(M=a^3+b^3\)
\(=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)\) ( Hằng đẳng thức )
Mà \(a+b=1\) , nên :
\(M=a^2+b^2-ab\)
\(=\left(a^2+b^2+2ab\right)-3ab\)
\(=\left(a+b\right)^2-3ab\)
Lại có : \(a+b=1\) , nên :
\(M=1^2-3ab=1-3ab\)
\(3ab\le\frac{3\left(a+b\right)^2}{4}\)
\(\Rightarrow M\ge1-\frac{3\left(a+b\right)^2}{4}=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}\)
Do đó : \(Min_M=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
Ta có : \(a^3+b^3=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)=1-3ab\)
Vì \(a+b=1\) là một tổng không đổi nên ab đạt giá trị lớn nhất khi a = b
=> -ab đạt giá trị nhỏ nhất khi a = b mà a + b = 1 => a = b = 1/2
Thay a = b = 1/2 vào M được \(a^3+b^3\ge\left(\frac{1}{2}\right)^3+\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{4}\)
Vậy min M = 1/4 <=> a = b = 1/2
Ta có :
M = a3 + b3 = (a+b)3 - 3ab(a+b) = 1-3ab
Áp dụng BĐT Cosi , ta được :
a+b lớn hơn hoặc bằng 2.căn(ab)
=> 2.căn(ab) nhỏ hơn hoặc bằng 1 (vì a+b=1)
=>ab nhỏ hơn hoặc bằng 1/4
=> 3ab nhỏ hơn hoặc bằng 3/4
=> 1-3ab lớn hơn hoặc bằng 1/4
hay : M lớn hơn hoặc bằng 1/4
Dấu "=" xảy ra khi :
a=b và a+b=1 <=> a=b=1/2
Vậy : MinM=1/4 đạt được tại a=b=1/2
Câu 2a
\(\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2c^2+2abcd+b^2d^2+a^2d^2-2abcd+b^2c^2=\left(a^2+b^2\right)c^2+d^2\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2=a^2c^2+b^2c^2+a^2d^2+b^2d^2\)
\(\Leftrightarrow a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2-\left(a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow0=0\)( đpcm )
Câu 2b
\(\left(ac+bd\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2c^2+2abcd+b^2d^2\le\left(a^2+b^2\right)c^2+d^2\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2c^2+2abcd+b^2d^2\le a^2c^2+b^2c^2+a^2d^2+b^2d^2\)
\(\Leftrightarrow2abcd\le b^2c^2+a^2d^2\)
\(\Leftrightarrow0\le b^2c^2-2abcd+a^2d^2\)
\(\Leftrightarrow0\le\left(bc-ad\right)^2\)( đpcm )
Câu 4a
\(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\ge ab\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\ge ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)( đpcm )
Câu 4c
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
\(\Rightarrow3a+5b\ge2\sqrt{3a.5b}=2\sqrt{15ab}\)
\(\Rightarrow12\ge2\sqrt{15ab}\)
\(\Rightarrow6\ge\sqrt{15ab}\)
\(\Rightarrow6^2\ge15ab\)
\(\Rightarrow36\ge15ab\)
\(\Rightarrow ab\le\frac{12}{5}\)
\(\Leftrightarrow P\le\frac{12}{5}\)
Vậy GTLN của \(P=\frac{12}{5}\)
Đặt a = 1-x
\(^{a^3+b^3=2=>b^3=2-a^3=2-\left(1-x\right)^3=1+x^3-3x^2+3x\le x^3+3x^2+3x+1=\left(x+1\right)^3=>b^3\le\left(x+1\right)^3=>b\le x+1}\)N=a+b\(\le\)1-x+x+1=2
Vậy Max N = 2 <=> x=0 <=> a=b=1
a3 + b3 = (a + b).(a2 - ab + b2) = 2
ta có: a2 - ab + b2 = (a - (b/2))2 + 3b2/4 => a2 - ab + b2 \(\ge\) 0. Do đó, a + b > 0 (do 2> 0)
Áp dụng bất đẳng thức Bu nhi cốp xki ta có: \(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\Rightarrow\left(a+b\right)^4\le4\left(a^2+b^2\right)^2\)
Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức Bunhi cốp xki với các số \(a\sqrt{a};\sqrt{a};b\sqrt{b};\sqrt{b}\) ta có
=> \(\left(a+b\right)^4\le4\left(a^2+b^2\right)^2=4\left(a\sqrt{a}.\sqrt{a}+b\sqrt{b}.\sqrt{b}\right)^2\le4.\left(a^3+b^3\right)\left(a+b\right)=8\left(a+b\right)\)
Do a + b > 0 nên \(\left(a+b\right)^3\le8\Rightarrow a+b\le\sqrt[3]{8}=2\)
=> Max N = 2 khi a = b = 1