Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(x^2-2\left(m+1\right)x+3\left(m+1\right)-3=0\)
\(x^2-2nx+3n+3=\left(x-n\right)^2-\left(n^2-3n+3\right)=0\)\(\left(x-n\right)^2=\left(n-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{3}{4}=\frac{\left(2n-3\right)^2+3}{4}>0\forall n\) vậy luôn tồn tại hai nghiệm
\(\orbr{\begin{cases}x_1=\frac{n-\sqrt{\left(2n-3\right)^2+3}}{2}\\x_2=\frac{n+\sqrt{\left(2n-3\right)^2+3}}{2}\end{cases}}\)
a) \(\frac{x_1}{x_2}=\frac{4x_1-x_2}{x_1}\Leftrightarrow\frac{x_1^2-4x_1x_2+x_2^2}{x_1x_2}=0\)
\(x_1x_2=n^2-\frac{\left(2n-3\right)^2+3}{4}=\frac{4n^2-4n^2+12n-9-3}{4}=3n-3\)
với n=1 hay m=0 : Biểu thức cần C/m không tồn tại => xem lại đề
\(2x^2+3mx-\sqrt{2}=0\)
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt <=> \(\Delta=\left(3m\right)^2-4\cdot2\cdot\left(\sqrt{2}\right)>0\)
<=> \(9m^2+3\sqrt{2}>0\)(luôn đúng)
=> PT có 2 nghiệm phân biệt x1;x2 với mọi m \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=\frac{-3m}{2}\\x_1x_2=\frac{-\sqrt{2}}{2}\end{cases}}\)
\(M=\left(x_1-x_2\right)^2+\left(\frac{1+x_1^2}{x_1}-\frac{1+x_2^2}{x_2}\right)\)
\(=x_1^2+x_2^2-2x_1x_2+\left[\frac{x_2\left(1+x_1^2\right)-x_1\left(1+x_2^2\right)}{x_1x_2}\right]^2\)
\(=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2+\frac{\left(x_2+x_1+x_1^2x_2-x_1x_2^2\right)^2}{\left(x_1x_2\right)^2}\)
\(=\left(\frac{-3m}{2}\right)^2-4\cdot\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+\frac{\left(x_2-x_1\right)^2\cdot\left(1+x_1x_2\right)^2}{\left(x_1x_2\right)^2}\)
\(=\frac{9m^2}{4}+2\sqrt{2}+\frac{\left(\frac{9m^2}{4}+2\sqrt{2}\right)\left(1+\frac{-\sqrt{2}}{2}\right)^2}{\left(\frac{-\sqrt{2}}{2}\right)^2}\)
\(=\frac{9m^2}{4}+2\sqrt{2}+\left(\frac{9m^2}{4}+2\sqrt{2}\right)\left(3-2\sqrt{2}\right)\)
\(=\frac{9m^2}{4}\left(4-2\sqrt{2}\right)+2\sqrt{2}\left(4-2\sqrt{2}\right)\ge2\sqrt{2}\left(4-2\sqrt{2}\right)\ge8\sqrt{2}-8\)
Dấu "=" xảy ra <=> m=0