Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a2+b2+c2\(\ge\) ab + bc + ca
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-ba-ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2-2ab\right)+\left(b^2+c^2-2bc\right)+\left(c^2+a^2-2ca\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) (BĐT đúng)
Do đó \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\) là BĐT đúng.
a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca
<=> 2( a2 + b2 + c2 ) ≥ 2( ab + bc + ca )
<=> 2a2 + 2b2 + 2c2 ≥ 2ab + 2bc + 2ca
<=> 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca ≥ 0
<=> ( a2 - 2ab + b2 ) + ( b2 - 2bc + c2 ) + ( c2 - 2ca + a2 ) ≥ 0
<=> ( a - b )2 + ( b - c )2 + ( c - a )2 ≥ 0 ( đúng )
Vậy bđt được chứng minh
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c
Ta thấy trong 3 số thực dương a;b;c luôn tồn tại hai số cùng lớn hơn hay nhỏ hơn hoặc bằng 1.Giả sử 2 số đó là b,c
Khi đó \(\left(b-1\right)\left(c-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow bc\ge b+c-1\ge0\)\(\Rightarrow2abc\ge2ab+2ac-2a\)
Do đó \(a^2+b^2+c^2+2abc+1\ge a^2+b^2+c^2+2ab+2ac-2a+1\)
Nên bây giờ ta chứng minh :\(a^2+b^2+c^2+2ab+2ac-2a+1\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2+\left(b-c\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1
Giải
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(a+b\right)^2\ge0\\\left(b+c\right)^2\ge0\\\left(c+a\right)^2\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+2ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2\ge2ab\\b^2+c^2\ge2bc\\c^2+a^2\ge2ca\end{matrix}\right.\)
Cộng từng vế của dãy BĐT ta được:
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
Hay \(ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2\) (Đpcm)
Ta có \(\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}=\frac{ca}{c+a}\)
\(\Rightarrow\frac{a+b}{ab}=\frac{b+c}{bc}=\frac{c+a}{ca}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{b}+\frac{1}{a}=\frac{1}{c}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\)
Từ \(\frac{1}{b}+\frac{1}{a}=\frac{1}{c}+\frac{1}{b}\Rightarrow\frac{1}{a}=\frac{1}{c}\)
Tương tự suy ra \(\frac{1}{c}=\frac{1}{b};\frac{1}{b}=\frac{1}{a}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}=\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\Rightarrow a=b=c\)
Ta có \(ab^2+bc^2+ca^2=a^3+b^3+c^3\)(đccm)
\(\text{Một cách khác}\)
\(\text{Ta có:}\)
\(\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}\)
\(\Leftrightarrow ab\left(b+c\right)=bc\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow ab^2+abc=abc+b^2c\)
\(\Leftrightarrow a=c\left(1\right)\)
\(\frac{bc}{b+c}=\frac{ca}{a+c}\)
\(\Rightarrow bc\left(a+c\right)=ca\left(b+c\right)\)
\(\Rightarrow abc+bc^2=abc+c^2a\)
\(\Rightarrow b=a\left(2\right)\)
\(Từ\)\(\text{(1) và (2)}\)\(\Rightarrow a=b=c\)
\(\text{Ta có :}\)\(ab^2+bc^2+ca^2=a^3+b^3+c^3\)
a: \(=-10bx^3y^2\)
b: \(\dfrac{-4}{5}ab^2c\cdot\left(-20\right)a^4bx=16a^5b^3c\cdot x\)
c: \(=8\cdot\dfrac{1}{4}\cdot a^3\cdot b^2c^4=2a^3b^2c^4\)
d: \(=2ab\cdot\dfrac{4}{3}a^2\cdot b^4\cdot7abc=\dfrac{56}{3}a^4b^6c\)
Vì a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác
\(\Rightarrow\)\(a+b>c\)( bất đẳng thức tam giác)
\(\Rightarrow\)\(ac+bc>c^2\)( nhân 2 vế với c )
Tương tự ta có :
\(ba+ca>a^2\)
\(cb+ab>b^2\)
Công 2 vế lại ta có : \(ac+bc+ba+ca+cb+ab>a^2+b^2+c^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ca\right)>a^2+b^2+c^2\)
áp dụng bất đẳng thức tam giác
=>a+b>=c
b+c>=a
a+c>=b
=>c^2<=ac+bc
a^2<=ab+ac
b^2<=ab+bc
=>a^2+b^2+c^2<+2*(ab+bc+ac)
=>đfcm