Question

[Thái Bình Nguyễn]

a) C/m: với mọi n thuộc Z, các số n⁵ và n có chữ số tận cùng bằng nhau.

b) C/m: với m,n thuộc Z, n⁵m-nm⁵ chia hết cho 30

Answer 1

[Nguyễn Anh Quân]

a, Xét : n^5-n = n.(n^4-1)=n.(n^2-1).(n^2+1) = n.(n-1).(n+1).(n^2-4+5) = n.(n-1).(n+1).(n-2).(n+2) + 5.(n-1).n(n+1)

Ta thấy n-2;n-1;n-n+1;n+2 là 5 số nguyên liên tiếp nên có  1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 5

=> (n-2).(n-1).n.(n+1).(n+2) chia hết cho 2.5 = 10 ( vì 2 và 5 là 2 số nguyên tố cùng nhau )

Lại có : n-1 và n là 2 số nguyên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 2 => 5.(n-1).n.(n+1) chia hết cho 10

=> n^5-n chia hết cho 10 => n^5-n có tận cùng là 0

=> n^5 và n có chữ số tận cùng bằng nhau

k mk nha