Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
b,Ap dung bdt cauchy schwarz dang engel ta co
\(B=\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{1}+\frac{z^2}{1}>=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\frac{a^2}{3}\)
xay ra dau = khi x=y=z=a/3
sao dài thế @@ chộp bài nào làm bài nấy ha
Câu 1:
Giả sử \(\sqrt{7}\) là số hữu tỉ thì \(\sqrt{7}=\frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản, a;b thuộc Z, b khác 0
\(\frac{a}{b}=\sqrt{7}\Rightarrow\left(\frac{a}{b}\right)^2=7\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}=7\Rightarrow a^2=7b^2\)=> a2 chia hết cho 7 (1)
=> a chia hết cho 7 => a=7k với k thuộc Z
Thay a=7k vào a2=7b2 ta được 49k2=7b2 => 7k2=b2 => b2 chia hết cho 7 => b chia hết cho 7 (2)
Từ (1) và (2) => phân số a/b chưa tối giản trái với giả thiết ban đầu
=>\(\sqrt{7}\) là số vô tỉ (đpcm)
Câu 1:
Giả sử \(\sqrt{7}\) là số hữu tỉ \(\Rightarrow\sqrt{7}=\frac{m}{n}\) (tối giản)
\(\Rightarrow7=\left(\frac{m}{n}\right)^2=\frac{m^2}{n^2}\) Hay \(7n^2=m^2\left(1\right)\)
Đẳng thức này chứng tỏ \(m^2⋮7\) Mà \(7\) là số nguyên tố nên \(m⋮7\)
Đặt \(m=7k\left(k\in Z\right)\) ta có: \(m^2=49k^2\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) suy ra: \(7n^2=49k^2\) nên \(n^2=7k^2\left(3\right)\)
Từ \(\left(3\right)\) ta lại có: \(n^2⋮7\) và vì \(7\) là số nguyên tố nên \(n⋮7\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}m⋮7\\n⋮7\end{cases}}\) nên phân số \(\frac{m}{n}\) không tối giản, trái với giả thiết
Vậy \(\sqrt{7}\) không phải là số hữu tỉ
\(\Leftrightarrow\sqrt{7}\) là số vô tỉ (Điều phải chứng minh)
BÀI 1 : cho x+y=2 ................
GIẢI :
TA CÓ :x2+y2\(\ge\)\(\frac{\left(x+2\right)^2}{2}\)=2
MIN =2 khi x=y=1
BÀI 2: cho a,b>0 và ...........
GIẢI:
12=3a+5b \(\ge\)2\(\sqrt{3a.5b}\)
\(=2\sqrt{15ab}=>ab\le\frac{36}{15}=\frac{12}{15}\)
dấu "=" xảy ra khi 3a=5b,3a+5b=12
<=>a=2,b=6/5
tk mk nha !\(\phi\Phi\alpha\omega\Phi\varepsilon\partial\beta\)
Câu 2a
\(\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2c^2+2abcd+b^2d^2+a^2d^2-2abcd+b^2c^2=\left(a^2+b^2\right)c^2+d^2\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2=a^2c^2+b^2c^2+a^2d^2+b^2d^2\)
\(\Leftrightarrow a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2-\left(a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow0=0\)( đpcm )
Câu 2b
\(\left(ac+bd\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2c^2+2abcd+b^2d^2\le\left(a^2+b^2\right)c^2+d^2\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2c^2+2abcd+b^2d^2\le a^2c^2+b^2c^2+a^2d^2+b^2d^2\)
\(\Leftrightarrow2abcd\le b^2c^2+a^2d^2\)
\(\Leftrightarrow0\le b^2c^2-2abcd+a^2d^2\)
\(\Leftrightarrow0\le\left(bc-ad\right)^2\)( đpcm )
Câu 4a
\(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\ge ab\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\ge ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)( đpcm )
Câu 4c
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
\(\Rightarrow3a+5b\ge2\sqrt{3a.5b}=2\sqrt{15ab}\)
\(\Rightarrow12\ge2\sqrt{15ab}\)
\(\Rightarrow6\ge\sqrt{15ab}\)
\(\Rightarrow6^2\ge15ab\)
\(\Rightarrow36\ge15ab\)
\(\Rightarrow ab\le\frac{12}{5}\)
\(\Leftrightarrow P\le\frac{12}{5}\)
Vậy GTLN của \(P=\frac{12}{5}\)
1.TA CO A^2 + B^2/4 >=AB ... 4- (A^2+1/A^2)>=AB . VOI A^2>=0 TACO A^2 +1/A^2 >=2 ... - (A^2+1/A^2)<=-2 SUYRA AB<= - (A^2+1/A^2)+4 <=-2+4 HAY AB<=2 . MAX AB=2 KHI A=1 , B=2A=2 2.XY-X-Y=0...XY-X-Y+1=1...X(Y-1)-(Y-1)=1...(X-1)(Y-1)=1. Vi X,Y NGUYEN NEN X-1 , Y-1 NGUYEN ...(X-1)(Y-1)=1.1= -1 .-1. VS X-1=1,Y-1=1 SUYRA X=Y=2...VS X-1=-1,Y-1=-1 SUYRA X=Y=0
1) \(2a^2+\frac{1}{a^2}+\frac{b^2}{4}=4\Leftrightarrow\left(a^2+\frac{1}{a^2}-2\right)+\left(a^2+\frac{b^2}{4}-ab\right)=4-ab-2\)
\(\Leftrightarrow\left(a-\frac{1}{a}\right)^2+\left(a-\frac{b}{2}\right)^2=2-ab\)
\(VF=2-ab=\left(a-\frac{1}{a}\right)^2+\left(a-\frac{b}{2}\right)^2\ge0\)
hay \(ab\le2\)
Dấu = xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=\frac{1}{a}\\a=\frac{b}{2}\end{cases}\Leftrightarrow}\orbr{\begin{cases}\left(a;b\right)=\left(1;\frac{1}{2}\right)\\\left(a;b\right)=\left(-1;-\frac{1}{2}\right)\end{cases}}\)
2)
\(PT\Leftrightarrow\left(1-x\right)\left(y-1\right)=-1=1.\left(-1\right)=\left(-1\right).1\)
Xét các Th
3) bunyakovsky
Ta có : \(ab\le\frac{a^2+b^2}{2}\le\frac{a^2+b^2+c^2}{2}=1\).Nên ab - 1 \(\le0\)
Do đó \(P^2=\left[\left(a+b\right).1+c\left(1-ab\right)\right]^2\le\left[\left(a+b\right)^2+c^2\right]\left[1^2+\left(1-ab\right)^2\right]\)
\(=\left(a^2+2ab+b^2+c^2\right)\left(1+1-2ab+a^2b^2\right)\)
\(=\left(2ab+3\right)\left(a^2b^2-2ab+2\right)\)
\(=2a^3b^3-4a^2b^2+4ab+2a^2b^2-4ab+4\)
\(=2a^3b^3-2a^2b^2+4\)
\(=2a^2b^2\left(ab-1\right)+4\le4\)( vì \(a^2b^2\ge0,ab-1\le0\))
Suy ra \(-2\le P\le2\)
\(\cdot P\le2.\).Dấu " = " có thể xảy ra khi a = b = 1 , c= 0
\(\cdot P\ge-2.\)Dấu " = " có thể xảy ra khi a = b = -1 , c= 0
Vậy Max P là 2 và Min P là -2
a) \(a+b=2\)
=> \(b=2-a\)
\(A=a^2+\left(2-a\right)^2=2a^2-4a+4=\left(\sqrt{2}a-\sqrt{2}\right)^2+2\ge2\)
Vậy \(A_{min}=2\)
b) \(x+2y=8\)
=> \(x=8-2y\)
\(B=y\left(8-2y\right)=8y-2y^2=8-\left(\sqrt{2}y-2\sqrt{2}\right)^2\le8\)
Vậy \(B_{max}=8\)
a) \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge a^2+b^2+2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}=\frac{2^2}{2}=2\)
Dấu \(=\)khi \(a=b=1\).
b) \(\left(x-2y\right)^2\ge0\Leftrightarrow x^2+4y^2\ge4xy\Leftrightarrow x^2+4xy+4y^2\ge8xy\)
\(\Leftrightarrow xy\le\frac{\left(x+2y\right)^2}{8}=\frac{8^2}{8}=8\)
Dấu \(=\)khi \(\hept{\begin{cases}x=4\\y=2\end{cases}}\).