Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)=> \(\frac{bc+ac+ab}{abc}=1\) => bc + ac + ab - abc = 0
<=> c.(a + b) + ab.(1 - c) = 0
<=> c.(a + b) + ab. (a + b) = 0 <=> (a + b).(c + ab) = 0
<=> (a+ b).(1 - a - b + ab) = 0 <=> (a + b).[(1- b) - a.(1 - b)] = 0 <=> (a + b). (1 - a).(1 - b) = 0
<=> a + b = hoặc 1 - a = 0 hoặc 1 - b = 0
+) a + b = 0 => a = - b và c = 1 => S = a2009 + b2009 + c2009 = (-b)2009 + b2009 + 12009 = 1
+) a = 1 => b + c = 0 => b = - c . tương tự => S = 1
+) b = 1. tương tự => S = 1
Vậy S = 1
\(a+b+c=1=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a+b+c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a+b+c}=\frac{ab+bc+ca}{abc}\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)=abc\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b\right)\left(ab+bc+ca\right)+abc+bc^2+c^2a-abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(ab+bc+ca\right)+\left(a+b\right).c^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left[ab+bc+ca+c^2\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a+b=0\text{ hoặc }b+c=0\text{ hoặc }c+a=0\)
Do vai trò của a, b, c là như nhau nên không mất tính tổng quát, giả sử b + c = 0.\(b+c=0\Leftrightarrow b=-c\Rightarrow b^{2009}+c^{2009}=\left(-c\right)^{2009}+c^{2009}=-c^{2009}+c^{2009}=0\)
\(1=a+b+c=a+0=a\)
\(\Rightarrow a^{2009}+b^{2009}+c^{2009}=1^{2009}+0=1\text{ (đpcm)}\)
1) Không mất tính tổng quát, giả sử \(a\le b\le c\Rightarrow3=a+b+c\le3c\Rightarrow1\le c\le2\Rightarrow\left(c-1\right)\left(c-2\right)\le0\)
\(LHS=a^2+b^2+c^2=\left(a^2+2ab+b^2\right)+c^2-2ab\)
\(\le\left(a+b\right)^2+c^2=\left(3-c\right)^2+c^2\)
\(=2\left(c-1\right)\left(c-2\right)+5\le5\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;1;2\right)\) và các hoán vị.
2) Đề sai chỗ biểu thức M! Sao lại là M = x2 + y2 + x2 (chỗ mình in đậm)
3) Đề cho x, y, z không âm mà sao lại bắt chứng minh với các biến a, b? Sửa đề lại hết đi rồi mình làm nốt!
Mình xin lỗi vì viết sai nhé, phải là:
1) Cho 0 ≤ a, b, c ≤ 2 và a + b + c = 3. Chứng minh a2 + b2 + c2 ≤ 5
2) Cho -3 ≤ x, y, z ≤ 1, x + y + z = -1. Tính giá trị nhỏ nhất của M = x2 + y2 +z2
3) Cho các số dương a, b có tổng bằng 1. CMR:
Ko bt có đúng ko nữa nhưng theo mình thì:
P=a2b +b2c+ c2a
=bc(a2 + b +ca)
=bc[(a2 + ca) + b]
=bc[a(a+b+c)]
Thay a + b + c = 1
bc . a.1
=abc
Mik ko chắc nx. Ai bt thì giải hộ 
Ta có x3 + y3
= (x + y)(x2 - xy + y2)
= (x + y)(x2 + 2xy + y2) - 3xy(x + y)
= (x + y)3 - 6xy
= 23 - 6xy
= 8 - 6xy
Lại có x + y = 2
=> (x + y)2 = 4
=> x2 + y2 + 2xy = 4
=> 2xy = -6
=> xy = -3
Khi đó x3 - y3 = 8 + 6.3 = 26
b) a + b = 7
=> a = 7 - b
Khi đó ab = 12
<=> (7 - b).b = 12
=> 7b - b2 = 12
=> 7b - b2 - 12 = 0
=> -(b2 - 7b + 12) = 0
=> b2 - 4b - 3b + 12 = 0
=> b(b - 4) - 3(b - 4) = 0
=> (b - 3)(b - 4) = 0
=> \(\orbr{\begin{cases}b=3\\b=4\end{cases}}\)
Khi b = 3 => a = 4
Khi b = 4 => a = 3
+) b = 3 ; a = 4 => B = (3 - 4)2009 = -1
+) b = 4 ; a = 3 => B = (4 - 3)2009 = 1
c) Ta có a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)
= (a - b)(a2 - 2ab + b2) + 3ab(a - b)
= (a - b)3 + 3ab(a - b)
= 27 + 9ab
Lại có \(\hept{\begin{cases}a+b=9\\a-b=3\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=6\\b=3\end{cases}}\)
Khi đó C = 27 + 9.6.3 = 27 + 162 = 189
\(a-b=\sqrt{1-b^2}-\sqrt{1-a^2}\Leftrightarrow a+\sqrt{1+a^2}=b+\sqrt{1+b^2}\)
Bình phương cả 2 vế: \(2a\sqrt{1+a^2}=2b\sqrt{1+b^2}\)
Tiếp tục bình phương: \(a^2+a^4=b^2+b^4\)
\(\Leftrightarrow a^2-b^2+\left(b^2-a^2\right)\left(a^2+b^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)\left(1-a^2-b^2\right)=0\)
Đến đây ta có: \(\orbr{\begin{cases}a=b\\a^2+b^2=1\end{cases}}\)
Nếu a=b sẽ có vô số a,b TMDK nên đề bài nên có thêm điều kiện a,b phân biệt
\(a+b+c=\frac{1}{2017}\Rightarrow2017=\frac{1}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{a+b}{ab}+\frac{1}{c}-\frac{1}{a+b+c}=0\)
\(\Rightarrow\frac{a+b}{ab}+\frac{a+b}{c\left(a+b+c\right)}=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{c\left(a+b+c\right)}\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{ab+ac+bc+c^2}{abc\left(a+b+c\right)}\right)=0\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc\left(a+b+c\right)}=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=-b\\b=-c\\c=-a\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(a^{2009}+b^{2009}+c^{2009}\right)\left(\frac{1}{a^{2009}}+\frac{1}{b^{2009}}+\frac{1}{c^{2009}}\right)=1\)