Question

[Đỗ Quyên]

[Ôn thi vào 10]

Câu 1:

Giải phương trình và hệ phương trình sau:

a. \(\left(x+3\right)^2=16\)

b. \(\left\{{}\begin{matrix}2x+y-3=0\\\dfrac{x}{4}=\dfrac{y}{3}-1\end{matrix}\right.\)

Câu 2:

a. Rút gọn biểu thức: \(A=\left(\dfrac{2\sqrt{x}+x}{x\sqrt{x}-1}-\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\right):\left(1-\dfrac{\sqrt{x}+2}{x+\sqrt{x}+1}\right)\) với \(x\ge0,x\ne1\)

b. Tìm \(m\) để phương trình \(x^2-5x+m-3=0\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) thỏa mãn \(x_1^2-2x_1x_2+3x_2=1\)

Câu 3:

a. Tìm \(a\) và \(b\) biết đồ thị hàm số \(y=ax+b\) đi qua điểm \(A\left(-1;5\right)\) và song song với đường thẳng \(y=3x+1\)

b. Một đội xe phải chuyên chở 36 tấn hàng. Trước khi làm việc, đội xe đó được bổ sung thêm 3 xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn 1 tấn so với dự định. Hỏi đội xe lúc đầu có bao nhiêu xe? Biết rằng số hàng chở trên tất cả các xe có khối lượng bằng nhau.

Câu 4:

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Gọi C là điểm cố định thuộc đoạn thẳng OB (C khác O và B). Dựng đường thẳng d vuông góc với AB tại điểm C, cắt nửa đường tròn (O) tại điểm M. Trên cung nhỏ MB lấy điểm N bất kỳ (N khác M và B), tia AN cắt đường thẳng d tại điểm F, tia BN cắt đường thẳng d tại điểm E. Đường thẳng AE cắt nửa đường tròn (O) tại điểm D (D khác A).

a. Chứng minh AD.AE=AC.AB

b. Chứng minh: Ba điểm B, F, D thẳng hàng và F là tâm đường tròn nội tiếp △CDN

c. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp △AEF. Chứng minh rằng điểm I luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi điểm N di chuyển trên cung nhỏ MB

Câu 5: 

Cho \(a,b,c\) là ba số thực dương thỏa mãn \(abc=1\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

\(P=\dfrac{ab}{a^5+b^5+ab}+\dfrac{bc}{b^5+c^5+bc}+\dfrac{ca}{c^5+a^5+ca}\)

Answer 1

[Nguyễn Trọng Chiến]

Câu 5 : 

Ta chứng minh bđt phụ: \(x^5+y^5\ge xy\left(x^3+y^3\right)\forall x\in N\Leftrightarrow x^5+y^5-x^4y-xy^4\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)x^4-y^4\left(x-y\right)\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^4-y^4\right)\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)\ge0\)

 \(\Rightarrow x^5+y^5\ge xy\left(x^3+y^3\right)\) (1)

\(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\Rightarrow x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\left(2\right)\)

Áp dụng bđt (1) và (2): \(\Rightarrow\dfrac{ab}{a^5+b^5+ab}\le\dfrac{ab}{ab\left(a^3+b^3\right)+ab}\le\dfrac{ab}{a^2b^2\left(a+b\right)+ab}=\dfrac{1}{ab\left(a+b\right)+1}=\dfrac{abc}{ab\left(a+b+c\right)}=\dfrac{c}{a+b+c}\) Tương tự:

\(\dfrac{bc}{b^5+c^5+bc}\le\dfrac{a}{a+b+c};\dfrac{ca}{c^5+a^5+ca}\le\dfrac{b}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow\sum\dfrac{ab}{a^5+b^5+ab}\le\sum\dfrac{c}{a+b+c}=\dfrac{a+b+c}{a+b+c}=1\)

Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)=1

Answer 2

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

Câu 1: 

a) Ta có: \(\left(x+3\right)^2=16\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+3=4\\x+3=-4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-7\end{matrix}\right.\)

Vậy: S={1;-7}

b) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}2x+y-3=0\\\dfrac{x}{4}=\dfrac{y}{3}-1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x+y=3\\\dfrac{1}{4}x-\dfrac{1}{3}y=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x+2y=6\\4x-\dfrac{16}{3}y=-16\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{22}{3}y=22\\2x+y=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=3\\2x=3-y=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=3\end{matrix}\right.\)

Vậy: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x,y)=(0;3)