K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 1 2022
1.
\(x^4+4y^4=x^4+4x^2y^2+y^4-4x^2y^2=\left(x^2+2y^2\right)^2-\left(2xy\right)^2\)
\(=\left(x^2-2xy+2y^2\right)\left(x^2+2xy+2y^2\right)\)
Do x, y nguyên dương nên số đã cho là SNT khi:
\(x^2-2xy+2y^2=1\Rightarrow\left(x-y\right)^2+y^2=1\)
\(y\in Z^+\Rightarrow y\ge1\Rightarrow\left(x-y\right)^2+y^2\ge1\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=1\)
Thay vào kiểm tra thấy thỏa mãn
2. \(N=n^4+4^n\)
- Với n chẵn hiển nhiên N là hợp số
- Với \(n\) lẻ: \(\Rightarrow n=2k+1\)
\(N=n^4+4^n=n^4+4^{2k+1}=n^4+4.4^{2k}+4n^2.4^k-n^2.4^{k+1}\)
\(=\left(n^2+2.4^k\right)^2-\left(n.2^{k+1}\right)^2=\left(n^2+2.4^k-n.2^{k+1}\right)\left(n^2+2.4^k+n.2^{k+1}\right)\)
Mặt khác:
\(n^2+2.4^k-n.2^{k+1}\ge2\sqrt{2n^2.4^k}-n.2^{k+1}=2\sqrt{2}n.2^k-n.2^{k+1}\)
\(=n.2^{k+1}\left(\sqrt{2}-1\right)\ge2\left(\sqrt{2}-1\right)>1\)
\(\Rightarrow N\) là tích của 2 số dương lớn hơn 1
\(\Rightarrow\) N là hợp số
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 1 2022
Bài 4 chắc không có cách "đại số" nào (tức là dựa vào lý luận chia hết tổng quát) để giải. Mình nghĩ vậy (có lẽ có, nhưng mình ko biết).
Chắc chỉ sáng lọc và loại trừ theo quy tắc kiểu: do đổi vị trí bất kì đều là SNT nên không thể chứa các chữ số chẵn và chữ số 5, như vậy số đó chỉ có thể chứa các chữ số 1,3,7,9
Nó cũng không thể chỉ chứa các chữ số 3 và 9 (sẽ chia hết cho 3)
Từ đó sàng lọc được các số: 113 (và các số đổi vị trí), 337 (và các số đổi vị trí)
DV
2
LC
1 tháng 9 2015
a+1/a là số nguyên.
=>a+1 chia hết cho a
=>1 chia hết cho a
=>a=Ư(1)=(-1,1)
Xét a=1=>an+1=1+1=2 chia hết cho 1=1n=an
=>an+a chia hết cho an
=>an+1/a là số nguyên.
Xét a=-1.
Với n chẵn=>an+1=1+1=2 chia hết cho 1=1n=an
=>an+a chia hết cho an
=>an+1/a là số nguyên.
Với n lẻ=>an+1=-1+1=0 chia hết cho -1=(-1)n=an
=>an+a chia hết cho an
=>an+1/a là số nguyên.
Vậy an+1/a là số nguyên.
1 tháng 9 2015
Bạn Lê Chí Cường giải không đúng, do hiểu nhầm \(a+\frac{1}{a}\). là \(\frac{a+1}{a}\).
Bài này giải như sau: Ta tiến hành chứng minh bằng quy nạp rằng \(a^n+\frac{1}{a^n}\) là số nguyên dương với mọi \(n\) nguyên dương.
Thực vậy, theo giả thiết \(a+\frac{1}{a}\in Z\) nên khẳng định đúng khi \(n=1.\)
Với \(n=2,\) thì ta có \(a^2+\frac{1}{a^2}=\left(a+\frac{1}{a}\right)^2-2\in Z.\)
Giả sử rằng \(a^k+\frac{1}{a^k}\) là số nguyên dương với mọi \(k\) nguyên dương với mọi \(k=1,\ldots,n\). Ta cần chứng minh \(a^{n+1}+\frac{1}{a^{n+1}}\) cũng là số nguyên. Thực vậy, ta có \(\left(a+\frac{1}{a}\right)\left(a^n+\frac{1}{a^n}\right)=\left(a^{n+1}+\frac{1}{a^{n+1}}\right)+\left(a^{n-1}+\frac{1}{a^{n-1}}\right)\)
\(\to a^{n+1}+\frac{1}{a^{n+1}}=\left(a+\frac{1}{a}\right)\left(a^n+\frac{1}{a^n}\right)-\left(a^{n-1}+\frac{1}{a^{n-1}}\right)\).
Theo giả thiết quy nạp \(\left(a+\frac{1}{a}\right),\left(a^n+\frac{1}{a^n}\right),\left(a^{n-1}+\frac{1}{a^{n-1}}\right)\) là các số nguyên nên \(a^{n+1}+\frac{1}{a^{n+1}}\) cũng là số nguyên.
Vậy khẳng định đúng với \(n+1.\). Theo nguyên lí quy nạp khẳng định đúng với mọi số nguyên dương \(n.\)
9 tháng 10 2021
\(ĐK:\sqrt{x}+2\ge2\\ M=\dfrac{5}{\sqrt{x}+2}\in Z\\ \Leftrightarrow5⋮\sqrt{x}+2\\ \Leftrightarrow\sqrt{x}+2\inƯ\left(5\right)=\left\{5\right\}\left(\sqrt{x}+2\ge2\right)\\ \Leftrightarrow x=9\)
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
thuỷ
ok