Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) ta có: \(M=1+3+3^2+3^3+...+3^{119}\)
\(M=\left(1+3+3^2\right)+\left(3^3+3^4+3^5\right)+...+\left(3^{117}+3^{118}+3^{119}\right)\)
\(M=\left(1+3+3^2\right)+3^3.\left(1+3+3^2\right)+...+3^{117}.\left(1+3+3^2\right)\)
\(M=\left(1+3+3^2\right).\left(1+3^3+...+3^{117}\right)\)
\(M=13.\left(1+3^3+...+3^{117}\right)⋮13\left(đpcm\right)\)
b) ta có: \(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2};\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3};...;\frac{1}{2010^2}< \frac{1}{2009.2010}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{2010^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{2009.2010}\)
\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2009}-\frac{1}{2010}\)
\(=1-\frac{1}{2010}< 1\)
\(\Rightarrow N=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{2010^2}< 1\left(đpcm\right)\)
a, \(M=\left(1+3+3^2\right)+\left(3^3+3^4+3^5\right)+...+\left(3^{117}+3^{118}+3^{119}\right)\)
\(=\left(1+3+3^2\right)+3^3\left(1+3+3^2\right)+...+3^{117}\left(1+3+3^2\right)\)
\(=\left(1+3+3^2\right)\left(1+3^3+3^6+...+3^{117}\right)\)
\(=13.\left(1+3^3+...+3^{117}\right)⋮13\)
b, \(N=\frac{1}{2.2}+\frac{1}{3.3}+...+\frac{1}{2010.2010}\)
\(< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{2009.2010}\)
\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2009}-\frac{1}{2010}\)
\(=1-\frac{1}{2010}=\frac{2009}{2010}< 1\)
\(\Rightarrow N< 1\)
\(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{1996}+\frac{1}{1997}+\frac{1}{1998}=\left(1+\frac{1}{1998}\right)+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{1997}\right)+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{1996}\right)+...+\left(\frac{1}{999}+\frac{1}{1000}\right)\)
\(=\frac{1999}{1998}+\frac{1999}{2.1997}+\frac{1999}{3.1996}+...+\frac{1999}{999.1000}=1999.\left(\frac{1}{1998}+\frac{1}{2.1997}+...+\frac{1}{999.1000}\right)⋮1999\)
\(\Rightarrow\frac{m}{n}⋮1999\Rightarrow m⋮1999\)
BTTQ: Nếu \(\frac{m}{n}=1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{k}\left(k\inℕ^∗\right)\)thì m\(⋮\left(k+1\right)\)
Ta có : \(\frac{m}{n}\)= \(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{1998}\)
= ( 1 + 1/1998 ) + ( 1/2 + 1/1997 ) + ... + ( 1/99 + 1/1000 )
= \(\frac{1999}{1998}+\frac{1999}{2.1997}+...+\frac{1999}{999.1000}\)
= \(\frac{1999.\left(a_1+a_2+...+a_{1999}\right)}{1.2.3....1998}\)( a1 ; a2 ; ... là các thừa số phụ tương ứng của các phân số )
= \(\frac{1999.\left(a_1+a_2+...+a_{1999}\right)}{1.2.3....1998}\)=> tử \(⋮\)1999
Vì 1999 là số nguyên tố mà n k có thừa số 1999 => n ko chia hết cho 1999 . Dù rút gọn về phân số tối giản thì tử \(⋮\)1999 hay m \(⋮\)1999
Do đó dạng tổng quát là :
m/n = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/k => m \(⋮\)k ( k thuộc N* )
a)M = 1 + 3 + 32 +....+ 3118 + 3119
M = (1 + 3 + 32)+(33+34+35)+...+(3117+3118+3119)
M = 1x(1+3+9)+33x(1+3+9)+...+3117x(1+3+9)
M = 1x13+33x13+...+3117x13
M = 13x(1+33+...+3117)
Vậy M chia hết cho 13
Ta có:
\(\frac{m}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{1998}\)
\(=\left(1+\frac{1}{1998}\right)+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{1997}\right)+...+\left(\frac{1}{999}+\frac{1}{1000}\right)\)
\(=\frac{1999}{1.1998}+\frac{1999}{2.1997}+...+\frac{1999}{999.100}\)
Quy đồng phân số, ta chọn Mẫu chung la : 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 1997 x 1998
Gọi các thừa số phụ tương ứng là a1, a2, a3, ..., a999
\(\frac{m}{n}=\frac{1999\left(a1+a2+a3+...+a999\right)}{1.2.3.4.....1997.1998}\)
Do 1999 là số nguyên tố. Sau khi rút gọn vẫn còn thừa số 1999 suy ra m chia hết cho 1999
m/n=1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6
m/n=(1+1/6)+(1/2+1/5)+(1/3+1/4)
m/n=7/6+7/5+7/4
m/n=7x(1/6+1/5+1/4)
m/n=7x(4x5/4x5x6 + 4x6/4x5x6 + 5x6/4x5x6)
m/n=7x(4x5+4x6+5x6/4x5x6)
Vì 7 là số nguyên tố mà tích 4x5x6 ko chứa thừa số nguyên tố 7 nên đến khi rút gọn thì m vẫn chia hết cho 7.
tích nha 
Thanh Thảo Michiko_BGSnhóm nữ năng động
m/n=1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6
m/n=(1+1/6)+(1/2+1/5)+(1/3+1/4)
m/n=7/6+7/5+7/4
m/n=7x(1/6+1/5+1/4)
m/n=7x(4x5/4x5x6 + 4x6/4x5x6 + 5x6/4x5x6)
m/n=7x(4x5+4x6+5x6/4x5x6)
Vì 7 là số nguyên tố mà tích 4x5x6 ko chứa thừa số nguyên tố 7 nên đến khi rút gọn thì m vẫn chia hết cho 7.
\(A=\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right)...\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\)
\(A=\frac{1}{2}.\frac{2}{3}.\frac{3}{4}.....\frac{n}{n+1}\)
\(A=\frac{1}{n+1}\)
1)
42n+1+3n+2= (42)n.4 +3n.32
= 16n.4+3n.9
=13n.4+3n.4+3n.9
=13n.4+3n.(4+9)
= 13n.4+3n.13 = 13.(13n-1+3n) chia het cho 13
=> 42n+1+3n+2 chia hết cho 13
2)
\(A=\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)...\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\)
\(=\frac{1}{2}.\frac{2}{3}....\frac{n}{n+1}\)
\(=\frac{1}{n+1}\)