Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Do A thuộc \(\Delta\) nên tọa độ có dạng \(A\left(-2-2t;1+2t\right)\Rightarrow\overrightarrow{AM}=\left(2t+5;-2t\right)\)
\(\Rightarrow AM=\sqrt{\left(2t+5\right)^2+\left(-2t\right)^2}=\sqrt{13}\)
\(\Leftrightarrow8t^2+20t+25=13\)
\(\Leftrightarrow8t^2+20t+12=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=-1\\t=-\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)
Có 2 điểm A thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}A\left(0;-1\right)\\A\left(1;-2\right)\end{matrix}\right.\)
b. Do B thuộc \(\Delta\) nên tọa độ có dạng \(B\left(-2-2t;1+2t\right)\Rightarrow\overrightarrow{BM}=\left(2t+5;-2t\right)\)
\(MB=\sqrt{\left(2t+5\right)^2+\left(-2t\right)^2}=\sqrt{8t^2+20t+25}=\sqrt{8\left(t+\dfrac{5}{4}\right)^2+\dfrac{25}{2}}\ge\sqrt{\dfrac{25}{2}}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(t+\dfrac{5}{4}=0\Leftrightarrow t=-\dfrac{5}{4}\Rightarrow B\left(\dfrac{1}{2};-\dfrac{3}{2}\right)\)
Đường tròn tâm \(I\left(2;3\right)\) bán kính \(R=2\sqrt{2}\)
\(\overrightarrow{IA}=\left(1;-1\right)\Rightarrow AI=\sqrt{2}< R\Rightarrow\) A nằm phía trong đường tròn
Gọi H là trung điểm MN \(\Rightarrow IH\perp MN\)
\(MN=2MH=2\sqrt{R^2-IH^2}=2\sqrt{8-IH^2}\)
\(\Rightarrow MN_{min}\) khi \(IH_{max}\)
Trong tam giác vuông IAH vuông tại H, ta luôn có \(IH\le IA\)
\(\Rightarrow IH_{max}=IA\) khi H trùng A hay đường thẳng d vuông góc AI
\(\Rightarrow\) d qua A và nhận \(\overrightarrow{IA}=\left(1;-1\right)\) là 1 vtpt
Phương trình d: \(1\left(x-3\right)-1\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow x-y-1=0\)
Phương trình hoành độ giao điểm:
\(3x^2-x-5=mx-1\Rightarrow3x^2-\left(m+1\right)x-4=0\)
\(ac=-12< 0\Rightarrow\) phương trình luôn có 2 nghiệm hay (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt
Theo định lý Viet: \(x_A+x_B=\frac{m+1}{3}\)
\(\Rightarrow y_A+y_B=mx_A-1+mx_B-1=m\left(x_A+x_B\right)-2=\frac{m^2+m-6}{3}\)
Mà tọa độ trung điểm I của AB có dạng: \(\left\{{}\begin{matrix}x_I=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{m+1}{6}\\y_I=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{m^2+m-6}{6}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\frac{m^2+m-6}{6}=\frac{m+1}{6}-1\)
\(\Rightarrow m^2=1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=-1\end{matrix}\right.\)
Đường tròn tâm \(I\left(-5;4\right)\) bán kính \(R=2\sqrt{10}\)
Ta có: \(S_{IAB}=\frac{1}{2}IA.IB.sin\widehat{AIB}=\frac{1}{2}R^2.sin\widehat{AIB}\le\frac{1}{2}R^2\)
\(\Rightarrow S_{max}\) khi \(sin\widehat{AIB}=1\Leftrightarrow AI\perp BI\Rightarrow AB=R\sqrt{2}=4\sqrt{5}\)
Khi đó \(MAIB\) là hình vuông
\(\Rightarrow IM=AB=4\sqrt{5}\)
Do M thuộc d nên tọa độ có dạng: \(M\left(m;m+5\right)\Rightarrow\overrightarrow{IM}=\left(m+5;m+1\right)\)
\(\Rightarrow\left(m+5\right)^2+\left(m+1\right)^2=80\)
\(\Leftrightarrow m^2+6m-27=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=3\\m=-9\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}M\left(3;8\right)\\M\left(-9;-4\right)\end{matrix}\right.\)
b/ Gọi \(P\left(a;a+5\right)\Rightarrow\overrightarrow{IP}=\left(a+5;a+1\right)\)
Ta có: \(S_{PAI}=\frac{1}{2}AI.AP=\frac{1}{2}R.\sqrt{IP^2-R^2}=3\sqrt{10}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{10}.\sqrt{IP^2-40}=3\sqrt{10}\)
\(\Leftrightarrow IP^2=49\Leftrightarrow\left(a+5\right)^2+\left(a+1\right)^2=49\)
\(\Leftrightarrow2a^2+12a-23=0\Rightarrow a=\frac{-6\pm\sqrt{82}}{2}\Rightarrow P...\)
Phương trình tham số d: \(\left\{{}\begin{matrix}x=t\\y=1-t\end{matrix}\right.\)
M thuộc d nên tọa độ có dạng \(M\left(t;1-t\right)\)
Khoảng cách từ M đến \(\Delta\): \(\dfrac{\left|4t+3\left(1-t\right)+1\right|}{\sqrt{4^2+3^2}}=2\)
\(\Leftrightarrow\left|t+4\right|=10\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=6\\t=-14\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}M\left(6;-5\right)\\M\left(-14;15\right)\end{matrix}\right.\)