K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
HT
17 tháng 1 2021
Nhìn đề dữ dội y hệt cr của tui z :( Để làm từ từ
Lập bảng xét dấu cho \(\left|x^2-1\right|\) trên đoạn \(\left[-2;2\right]\)
| x | -2 | -1 | 1 | 2 |
| \(x^2-1\) | 0 | 0 |
\(\left(-2;-1\right):+\)
\(\left(-1;1\right):-\)
\(\left(1;2\right):+\)
\(\Rightarrow I=\int\limits^{-1}_{-2}\left|x^2-1\right|dx+\int\limits^1_{-1}\left|x^2-1\right|dx+\int\limits^2_1\left|x^2-1\right|dx\)
\(=\int\limits^{-1}_{-2}\left(x^2-1\right)dx-\int\limits^1_{-1}\left(x^2-1\right)dx+\int\limits^2_1\left(x^2-1\right)dx\)
\(=\left(\dfrac{x^3}{3}-x\right)|^{-1}_{-2}-\left(\dfrac{x^3}{3}-x\right)|^1_{-1}+\left(\dfrac{x^3}{3}-x\right)|^2_1\)
Bạn tự thay cận vô tính nhé :), hiện mình ko cầm theo máy tính
HT
17 tháng 1 2021
2/ \(I=\int\limits^e_1x^{\dfrac{1}{2}}.lnx.dx\)
\(\left\{{}\begin{matrix}u=lnx\\dv=x^{\dfrac{1}{2}}\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\dfrac{dx}{x}\\v=\dfrac{2}{3}.x^{\dfrac{3}{2}}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\dfrac{2}{3}.x^{\dfrac{3}{2}}.lnx|^e_1-\dfrac{2}{3}\int\limits^e_1x^{\dfrac{1}{2}}.dx\)
\(=\dfrac{2}{3}.x^{\dfrac{3}{2}}.lnx|^e_1-\dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3}.x^{\dfrac{3}{2}}|^e_1=...\)
LH
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
7 tháng 7 2021
Lời giải:
\(I=\int ^{1}_{-1}\ln (x+\sqrt{1+x^2})dx\)
Chuyển $x\to -x$ thì:
\(I=\int ^{-1}_{1}\ln (-x+\sqrt{1+x^2})d(-x)\)
\(=-\int ^{-1}_{1}\ln (-x+\sqrt{1+x^2})dx=\int ^{1}_{-1}\ln (-x+\sqrt{1+x^2})dx\)
\(2I=\int ^{1}_{-1}[\ln (x+\sqrt{1+x^2})+\ln (-x+\sqrt{1+x^2})]dx\)
\(=\int^{1}_{-1}\ln [(x^2+1)-x^2]dx=\int^{1}_{-1}\ln 1dx=\int^{1}_{-1}0dx=0\)
$\Rightarrow I=0$
NN
1
1 tháng 6 2016
lâu ko làm tích phân cũng quên béng đi rồi những câu này cũng không khó chú ý 1 chút là làm đc ak ,
trong cái căn bậc 2 nhé 3+2x-x^2= -((x-1)^2+2)) sau do dat x-1=a nen x+1=a+2 thay vap bieu tu lam binh thuong la ra thoi ak
TD
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 6 2020
Dễ dàng nhận thấy hàm dưới dấu tích phân dương
Đặt \(I=\int\limits^0_{-2}\frac{dx}{\sqrt{\left(x+2\right)\left(7-x\right)}}+\int\limits^7_0\frac{dx}{\sqrt{\left(x+2\right)\left(7-x\right)}}=A+B\)
Xét \(A=\int\limits^0_{-2}\frac{dx}{\sqrt{\left(x+2\right)\left(7-x\right)}}\)
\(f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{\left(x+2\right)\left(7-x\right)}}\) ; chọn \(g\left(x\right)=\frac{1}{\left(x+2\right)^{\frac{1}{2}}}\)
\(\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow-2^+}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{1}{\sqrt{5}}\) hữu hạn \(\Rightarrow\int\limits^0_{-2}f\left(x\right)dx\) và \(\int\limits^0_{-2}g\left(x\right)dx\) cùng hội tụ hoặc phân kỳ
Mà \(\int\limits^0_{-2}\frac{dx}{\left(x+2\right)^{\frac{1}{2}}}\) có \(\alpha=\frac{1}{2}< 1\) nên hội tụ \(\Rightarrow A\) hội tụ
Tương tự: xét \(B=\int\limits^7_0\frac{dx}{\sqrt{\left(x+2\right)\left(7-x\right)}}\)
\(f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{\left(x+2\right)\left(7-x\right)}}\) chọn \(g\left(x\right)=\frac{1}{\left(7-x\right)^{\frac{1}{2}}}\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow7^-}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{1}{3}\) hữu hạn
\(\Rightarrow\int\limits^7_0f\left(x\right)dx\) và \(\int\limits^7_0g\left(x\right)dx\) cùng bản chất
\(\alpha=\frac{1}{2}< 1\Rightarrow\int\limits^7_0g\left(x\right)dx\) hội tụ \(\Rightarrow B\) hội tụ
\(\Rightarrow I=A+B\) hội tụ
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 6 2020
Tìm theo pp Lagrange bị 1 điểm cực trị có \(B^2-AC=0\) ko kết luận được, do đó nên đưa về cực trị của hàm 1 biến
\(\left(x+2\right)^2+\left(y+2\right)^2=98\Leftrightarrow\left(\frac{x+2}{7\sqrt{2}}\right)^2+\left(\frac{y+2}{7\sqrt{2}}\right)^2=1\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{x+2}{7\sqrt{2}}=sint\\\frac{y+2}{7\sqrt{2}}=cost\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=7\sqrt{2}sint-2\\y=7\sqrt{2}cost-2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow z=98sint.cost+35\sqrt{2}\left(sint+cost\right)-24\)
Đặt \(\sqrt{2}\left(sint+cost\right)=a\Rightarrow-2\le a\le2\)
\(\Rightarrow sint.cost=\frac{a^2}{4}-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow z=\frac{49}{2}a^2+35a-73\) với \(a\in\left[-2;2\right]\)
\(z'_a=49a+35=0\Rightarrow a=-\frac{5}{7}\)
\(z\left(-2\right)=-45;z\left(2\right)=95;z\left(-\frac{5}{7}\right)=-\frac{171}{2}\)
\(\Rightarrow z_{min}=-\frac{171}{2}\) khi \(a=-\frac{5}{7}\) ; \(z_{max}=95\) khi \(a=2\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
20 tháng 12 2017
1)
Ta có:
\(\int (2-\cot ^2x)dx=\int (2-\frac{\cos ^2x}{\sin ^2x})dx\)
\(=\int (2-\frac{1-\sin ^2x}{\sin ^2x})dx=\int (3-\frac{1}{\sin ^2x})dx=3\int dx-\int \frac{dx}{\sin ^2x}\)
\(=3x+\int d(\cot x)=3x+\cot x+c\)
\(\Rightarrow \int ^{\frac{\pi}{2}}_{\frac{\pi}{3}}(2-\cot ^2x)dx=\left.\begin{matrix} \frac{\pi}{2}\\ \frac{\pi}{3}\end{matrix}\right|(3x+\cot x+c)=\frac{\pi}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}\)
3)
Xét \(\int (2\tan x-3\cot x)^2dx\)
\(=\int (4\tan ^2x+9\cot ^2x-12)dx\)
\(=\int (\frac{4\sin ^2x}{\cos ^2x}+\frac{9\cos ^2x}{\sin ^2x}-12)dx\)
\(=\int (\frac{4(1-\cos ^2x)}{\cos ^2x}+\frac{9(1-\sin ^2x)}{\sin ^2x}-12)dx\)
\(=\int (\frac{4}{\cos ^2x}+\frac{9}{\sin ^2x}-25)dx\)
\(=4\int d(\tan x)-9\int d(\cot x)-25\int dx\)
\(=4\tan x-9\cot x-25x+c\)
Do đó:
\(\int ^{\frac{\pi}{3}}_{\frac{\pi}{6}}(2\tan x-3\cot x)^2dx=\left.\begin{matrix} \frac{\pi}{3}\\ \frac{\pi}{6}\end{matrix}\right|(4\tan x-9\cot x-25x+c)=\frac{26\sqrt{3}}{3}-\frac{25\pi}{6}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
20 tháng 12 2017
2)
Xét \(\int (\tan x+\cot x)^2dx=\int (\tan ^2x+\cot ^2x+2)dx\)
\(=\int (\frac{\sin ^2x}{\cos^2 x}+\frac{\cos ^2x}{\sin ^2x}+2)dx\)
\(=\int (\frac{1-\cos ^2x}{\cos ^2x}+\frac{1-\sin ^2x}{\sin ^2x}+2)dx\)
\(=\int (\frac{1}{\cos ^2x}+\frac{1}{\sin ^2x})dx\)
\(=\int d(\tan x)-\int d(\cot x)=\tan x-\cot x+c\)
Do đó:
\(\int ^{\frac{\pi}{3}}_{\frac{\pi}{6}}(\tan x+\cot x)^2dx=\left.\begin{matrix} \frac{\pi}{3}\\ \frac{\pi}{6}\end{matrix}\right|(\tan x-\cot x+c)=2\sqrt{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
29 tháng 5 2019
\(I_1=\int\limits^2_0f\left(2x\right)dx\)
Đặt \(2x=t\Rightarrow dx=\frac{dt}{2}\) ; \(\left\{{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow t=0\\x=2\Rightarrow t=4\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I_1=\int\limits^4_0f\left(t\right).\frac{dt}{2}=\frac{1}{2}\int\limits^4_0f\left(t\right)dt=\frac{1}{2}\int\limits^4_0f\left(x\right)dx=\frac{1}{2}.2018=1009\)
\(I_2=\int\limits^2_{-2}f\left(2-x\right)dx\)
Đặt \(2-x=t\Rightarrow dx=-dt\); \(\left\{{}\begin{matrix}x=-2\Rightarrow t=4\\x=2\Rightarrow t=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I_2=\int\limits^0_4f\left(t\right).\left(-dt\right)=\int\limits^4_0f\left(t\right)dt=\int\limits^4_0f\left(x\right)dx=2018\)
\(\Rightarrow I=I_1+I_2=1009+2018=3027\)
Áp dụng nguyên hàm cơ bản: \(\int\sqrt{a^2-x^2}dx=\dfrac{a\sqrt{a^2-x^2}}{2}+\dfrac{a^2}{2}arcsin\dfrac{x}{2}+C\)
\(I=\left(\dfrac{x\sqrt{20-x^2}}{2}+10arcsin\dfrac{x}{2\sqrt{5}}\right)|^2_{-2}-\dfrac{1}{3}x^3|^2_{-2}=...\)
\(I=\int\sqrt{20-x^2}dx-\int x^2dx\)
Xet \(I_1=\int\sqrt{20-x^2}dx\)
\(x=\sqrt{20}\sin t\left(-\dfrac{\pi}{2}\le t\le\dfrac{\pi}{2}\right)\Rightarrow dx=\sqrt{20}\cos tdt\)
\(\Rightarrow I_1=\int\sqrt{20\cos^2t}.\sqrt{20}\cos tdt=20\int\cos^2t.dt=10\int dt+10\int\cos2t.dt=10t+5\sin2t+C\)
\(\Rightarrow I=10arc\sin\left(\dfrac{x}{\sqrt{20}}\right)+5\sin\left[2.arc\sin\left(\dfrac{x}{\sqrt{20}}\right)\right]-\dfrac{1}{3}x^3+C\)
P/s: Bạn tự thay cận vô ạ