Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Câu 4 đề 1:
Biến đổi miền D: \(x^2+y^2\le2x\Leftrightarrow x^2-2x+1+y^2\le1\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+y^2\le1\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x-1=r.cos\varphi\\y=r.sin\varphi\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1+r.cos\varphi\\y=r.sin\varphi\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}0\le r\le1\\0\le\varphi\le2\pi\end{matrix}\right.\)
\(I=\int\limits^{2\pi}_0d\varphi\int\limits^1_0\left(2+r.cos\varphi\right).rdr=\int\limits^{2\pi}_0d\varphi\int\limits^1_0\left(2r+r^2.cos\varphi\right)dr\)
\(=\int\limits^{2\pi}_0d\varphi.\left(r^2+\dfrac{r^3}{3}cos\varphi\right)|^1_0=\int\limits^{2\pi}_0\left(1+\dfrac{1}{3}cos\varphi\right)d\varphi=2\pi\)
Câu 4 đề 2: sao câu này người ta ko cho biết chiều tính tích phân nhỉ? Coi như tính theo chiều dương đi.
\(\left\{{}\begin{matrix}P=x^2+xy\\Q=x+2xy\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}P'_y=x\\Q'_x=2y+1\end{matrix}\right.\)
Miền lấy tích phân là miền kín, áp dụng định lý Green:
\(I=\int\limits\int\limits^{ }_D\left(Q'_x-P'_y\right)dxdy=\int\limits\int\limits^{ }_D\left(2y-x+1\right)dxdy\)
Pt AC có dạng \(x=1\) và pt \(BC\) có dạng \(x=3-y\)
Chiếu lên Oy \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}0\le y\le2\\1\le x\le3-y\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\int\limits^2_0dy\int\limits^{3-y}_1\left(2y-x+1\right)dx\)
\(=\int\limits^2_0dy\left(\left(2y+1\right)x-\dfrac{x^2}{2}\right)|^{3-y}_1\)
\(=\int\limits^2_0\left(-\dfrac{5}{2}y^2+6y-2\right)dy=\dfrac{4}{3}\)
7.
\(\sqrt{4-x}\ge0\Rightarrow\sqrt{4-x}+\sqrt{3}\ge\sqrt{3}\) đáp án D
8.
\(y=x^2+\dfrac{1}{2x}+\dfrac{1}{2x}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{4x^2}}=\dfrac{3}{\sqrt[3]{4}}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x^2=\dfrac{1}{2x}\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}\) đáp án D
9.
\(y\ge2\sqrt{\dfrac{2x}{x}}-\left(1+\sqrt{2}\right)^2=2\sqrt{2}-\left(3+2\sqrt{2}\right)=-3\) đáp án B
10.
\(y'=\dfrac{1-2x}{\left(x-2\right)^2\sqrt{x^2-1}}\Rightarrow\) hàm đồng biến trên \((-\infty;-1]\) và nghịch biến trên \(\left[1;\dfrac{3}{2}\right]\)
\(f\left(-1\right)=f\left(1\right)=0\) ; \(f\left(\dfrac{3}{2}\right)=-\sqrt{5}\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)_{max}=0\) ; \(f\left(x\right)_{min}=-\sqrt{5}\) đáp án A
11.
\(f'\left(x\right)=\dfrac{5-x}{\left(x^2+2\right)\sqrt{x^2+5}}=0\Rightarrow x=5\) \(\Rightarrow f\left(5\right)=\dfrac{\sqrt{30}}{5}\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=1\) ; \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=-1\)
Hàm đạt GTLN tại \(x=5\) và ko có GTNN, đáp án D
Xét \(I_1=2\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0f\left(sinx\right)cosxdx=2\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0f\left(sinx\right)d\left(sinx\right)\)
Đặt \(sinx=t\Rightarrow t\in\left[0;1\right]\Rightarrow f\left(t\right)=5-t\)
\(I_1=2\int\limits^1_0\left(5-t\right)dt=9\)
Xết \(I_2=3\int\limits^1_0f\left(3-2x\right)dx=-\dfrac{3}{2}\int\limits^1_0f\left(3-2x\right)d\left(3-2x\right)\)
Đặt \(3-2x=t\Rightarrow t\in\left[1;3\right]\Rightarrow f\left(t\right)=t^2+3\)
\(I_2=-\dfrac{3}{2}\int\limits^1_3\left(t^2+3\right)dt=\dfrac{3}{2}\int\limits^3_1\left(t^2+3\right)dt=22\)
\(\Rightarrow I=9+22=31\)
Lời giải:
Để hàm \(y=\sqrt{x^2-4x+m-3}\) xác định với mọi \(x\in\mathbb{R}\) thì điều kiện cần và đủ là \(x^2-4x+m-3\geq 0\forall x\in\mathbb{R}\)
\(\Leftrightarrow m\geq -x^2+4x+3\forall x\in\mathbb{R}\) hay \(m\geq (-x^2+4x+3)_{\max}=f(x)_{\max}\)
Ta có \(f'(x)=-2x+4=0\Leftrightarrow x=2\)
\(\Rightarrow f(x)_{\max}=f(2)=7\). Do đó chỉ cần $m\geq 7$ thì hàm số luôn xác định với mọi $x\in\mathbb{R}$
21.
\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp AB\\AC\perp AB\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow AB\perp\left(SAC\right)\)
E là trung điểm SA, F là trung điểm SB \(\Rightarrow\) EF là đường trung bình tam giác SAB
\(\Rightarrow EF||AB\Rightarrow EF\perp\left(SAC\right)\)
\(\Rightarrow EF=d\left(F;\left(SEK\right)\right)\)
\(SE=\dfrac{1}{2}SA=\dfrac{3a}{2}\) ; \(EF=\dfrac{1}{2}AB=a\)
\(SC=\sqrt{SA^2+AC^2}=a\sqrt{13}\Rightarrow SK=\dfrac{2}{3}SC=\dfrac{2a\sqrt{13}}{3}\)
\(\Rightarrow S_{SEK}=\dfrac{1}{2}SE.SK.sin\widehat{ASC}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{3a}{2}.\dfrac{2a\sqrt{13}}{3}.\dfrac{2a}{a\sqrt{13}}=a^2\)
\(\Rightarrow V_{S.EFK}=\dfrac{1}{3}EF.S_{SEK}=\dfrac{1}{3}.a.a^2=\dfrac{a^3}{3}\)
\(AB\perp\left(SAC\right)\Rightarrow AB\perp\left(SEK\right)\Rightarrow AB=d\left(B;\left(SEK\right)\right)\)
\(\Rightarrow V_{S.EBK}=\dfrac{1}{3}AB.S_{SEK}=\dfrac{1}{3}.2a.a^2=\dfrac{2a^3}{3}\)
22.
Gọi D là trung điểm AB
Do tam giác ABC đều \(\Rightarrow CD\perp AB\Rightarrow CD\perp\left(SAB\right)\)
\(\Rightarrow CD=d\left(C;\left(SAB\right)\right)\)
\(CD=\dfrac{AB\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}\) (trung tuyến tam giác đều)
N là trung điểm SC \(\Rightarrow d\left(N;\left(SAB\right)\right)=\dfrac{1}{2}d\left(C;\left(SAB\right)\right)=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)
\(S_{SAB}=\dfrac{1}{2}SA.AB=a^2\sqrt{3}\) \(\Rightarrow S_{SAM}=\dfrac{1}{2}S_{SAB}=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{2}\)
\(\Rightarrow V_{SAMN}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{a^2\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a^3}{4}\)
Lại có:
\(V_{SABC}=\dfrac{1}{3}SA.S_{ABC}=\dfrac{1}{3}.a\sqrt{3}.\dfrac{\left(2a\right)^2\sqrt{3}}{4}=a^3\)
\(\Rightarrow V_{A.BCMN}=V_{SABC}-V_{SANM}=\dfrac{3a^3}{4}\)