Question

[yourbestfriend 331975]

Giúp em câu này với ạ.

Cho phương trình \(m.2^{x^2-5x+6}+2^{1-x^2}=2.2^{6-5x}+m\) .Có tất cả bao nhiêu giá trị của m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

\(m\left(2^{x^2-5x+6}-1\right)-\left(2^{7-5x}-2^{1-x^2}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow m\left(2^{x^2-5x+6}-1\right)-2^{1-x^2}\left(2^{x^2-5x+6}-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-2^{1-x^2}\right)\left(2^{x^2-5x+6}-1\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}2^{1-x^2}=m\left(1\right)\\2^{x^2-5x+6}=1\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow x^2-5x+6=0\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=3\end{matrix}\right.\)

Để pt đã cho có 4 nghiệm phân biệt thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 2 và 3 \(\Rightarrow m\ne\dfrac{1}{8};m\ne\dfrac{1}{256}\)

Với \(0< m< 2\), lấy logarit cơ số 2 hai vế của (1) ta được:

\(1-x^2=log_2m\Leftrightarrow x^2=1-log_2m\Rightarrow x=\pm\sqrt{1-log_2m}\)

\(\Rightarrow\) với m thỏa mãn \(\left\{{}\begin{matrix}0< m< 2\\m\ne\dfrac{1}{8}\\m\ne\dfrac{1}{256}\end{matrix}\right.\) thì pt đã cho có 4 nghiệm phân biệt

\(\Rightarrow\) có vô số giá trị m thỏa mãn

Nếu đề hỏi là giá trị nguyên của m thì chỉ có duy nhất \(m=1\), mình nghĩ bạn đã ăn bớt mất chữ "nguyên" của đề bài :D

Answer 2

[yourbestfriend 331975]

Nếu đề bài không hỏi 4 nghiệm phân biệt mà hỏi có đúng 3 nghiệm phân biệt thì điều kiện như thế nào vậy ạ?