Question

[Nguyễn Thành Trương]

GIẢI TRÍ CUỐI TUẦN CÙNG HOC24

Bài 1: Giải phương trình sau: \( \sqrt {16 - {x^2}} + \left( {x + 2} \right)\left| {\dfrac{2}{x} - 1} \right| = 4\sqrt {\dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{{{x^2}}}} \\ \)

Bài 2: Cho \(xyz=1\). Tính giá trị biểu thức sau: \(P = \dfrac{{x + 2xy + 1}}{{x + xy + xz + 1}} + \dfrac{{y + 2yz + 1}}{{y + yz + yx + 1}} + \dfrac{{z + 2zx + 1}}{{z + zx + zy + 1}}\)

Bài 3: \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có ba cạnh \(a,b,c\) (\(a-\) cạnh huyền). Chứng minh rằng: \(\left( {1 + \dfrac{a}{b}} \right)\left( {1 + \dfrac{a}{c}} \right) \geqslant 3 + 2\sqrt 2 \)

*LƯU Ý:

- Với những bài đưa ra ý tưởng hay được 1GP

- Với những lời giải đúng và trình bày bằng công thức được 2GP

- Loại bỏ những trường hợp sao chép (cũng tìm thử trên mạng có không nhé! Tại cũng chưa tìm)

- Không hạn chế số lượng bài gửi. Có nhiều cách gửi nhiều lần, đạt nhiều GP

CHÚC CÁC BẠN CUỐI TUẦN VUI VẺ, HỌC TẬP ĐẠT THÀNH TÍCH TỐT.

Answer 1

[Ami Mizuno]

Ta có: \(\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)=1+\frac{a}{c}+\frac{a}{b}+\frac{a^2}{bc}\)

\(1+\frac{a}{c}+\frac{a}{b}+\frac{b^2+c^2}{bc}=1+\frac{a}{c}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cosi vào 3 số "1"; "\(\frac{b}{c}\)";"\(\frac{c}{b}\)" có:

1+\(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge3\sqrt{1.\frac{b}{c}.\frac{c}{b}}\ge3\)

Hay 1 + \(\frac{a^2}{bc}\ge3\:\)(*)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{bc}\ge2\) (1)

Áp dụng bất đẳng thức Cosi vào 2 số "\(\frac{a}{c}\)";"\(\frac{a}{b}\)" có:

\(\frac{a}{c}+\frac{a}{b}\ge2\sqrt{\frac{a}{c}.\frac{a}{b}}=2\sqrt{\frac{a^2}{bc}}\) (2)

Từ (1),(2) suy ra: \(\frac{a}{c}+\frac{a}{b}\ge2\sqrt{2}\) (**)

Cộng (*),(**) vế theo vế ta có: \(1+\frac{a}{c}+\frac{a}{b}+\frac{a^2}{bc}\ge3+2\sqrt{2}\)

Hay \(\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)\ge3+2\sqrt{2}\left(dpcm\right)\)

Answer 2

[Trần Thanh Phương]

Đổi tên thành "Thử thách cuối tuần" chứ mấy bài này không giải trí mấy.

Bài 1:

Căng quá, đang đi cứu trợ :))

Bài 2:

Xét \(\frac{x+2xy+1}{x+xy+xz+1}=\frac{x+2xy+xyz}{x+xy+xz+xyz}=\frac{1+2y+yz}{1+y+z+yz}=\frac{yz+y+z+1+y-z}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\)

\(=\frac{\left(y+1\right)\left(z+1\right)+y-z}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}=1+\frac{y-z}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}=1+\frac{\left(y+1\right)-\left(z+1\right)}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}=1+\frac{1}{z+1}-\frac{1}{y+1}\)

Vì vai trò của x, y, z là như nhau nên chứng minh tương tự với 3 phân thức còn lại ta cũng có:

\(\frac{y+2yz+1}{y+yz+yx+1}=1+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{z+1}\)

\(\frac{z+2zx+1}{z+zx+zy+1}=1+\frac{1}{y+1}-\frac{1}{x+1}\)

Cộng theo vế 3 đẳng thức ta có:

\(P=1+1+1+\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+1}\right)+\left(\frac{1}{y+1}-\frac{1}{y+1}\right)+\left(\frac{1}{z+1}-\frac{1}{z+1}\right)=3\)

Vậy....

Bài 3:

Vì tam giác ABC vuông tại A nên theo Pytago ta có:

\(a^2=b^2+c^2\Leftrightarrow a=\sqrt{b^2+c^2}\)

\(\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)=1+\frac{a}{c}+\frac{a}{b}+\frac{a^2}{bc}=1+a\cdot\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\frac{b^2+c^2}{bc}\) (1)

Áp dụng BĐT Cô-si:

+) \(b^2+c^2\ge2bc\Leftrightarrow\frac{b^2+c^2}{bc}\ge2\Leftrightarrow\frac{b^2+c^2}{bc}+1\ge3\) (2)

+) \(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{2}{\sqrt{bc}}\Leftrightarrow\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\ge\frac{4}{bc}\) (3)

Từ (2) và (3) ta có: \(\left(b^2+c^2\right)\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\ge2bc\cdot\frac{4}{bc}=8\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{b^2+c^2}\cdot\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge2\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow a\cdot\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge2\sqrt{2}\) (4)

Từ (1), (2) và (4) suy ra \(\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)\ge3+2\sqrt{2}\) ( đpcm )

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow b=c\) hay tam giác ABC vuông cân tại A.