Question

[Vân Khánh]

Giải phương trình

\(^{x^2-10x+27=\sqrt{6-x}+\sqrt{x-4}}\)

Answer 1

[Trần Quốc Đạt]

Bình phương liên tục 2 vế và bạn có một pt bậc 8!!!

Đùa thôi chứ cách giải nghiêm túc nè.

Nhận xét: Đoán trước \(x=5\) là nghiệm nên ta sử dụng lượng liên hợp để có nhân tử \(x-5\) 2 vế.

\(\sqrt{6-x}-1+\sqrt{x-4}-1=x^2-10x+25\)

\(\frac{5-x}{\sqrt{6-x}+1}+\frac{x-5}{\sqrt{x-4}+1}=\left(x-5\right)^2\)

Ta xét \(x\ne5\) ta còn lại \(x-5=\frac{1}{\sqrt{x-4}+1}-\frac{1}{\sqrt{6-x}+1}\)

Ta xét \(x< 5\). Khi đó \(\frac{1}{\sqrt{x-4}+1}-\frac{1}{\sqrt{6-x}+1}>0>x-5\) nên vô nghiệm.

Trường hợp \(x>5\) tương tự. Một bài toán hay!

Answer 2

[Thắng Nguyễn]

Vậy thôi chứ bài này ko cần xoắn như Trần...Đạt

Đk:...

\(VT=\left(x^2-10x+25\right)+2=\left(x-5\right)^2+2\ge2\left(1\right)\)

\(VP^2=\left(6-x\right)+\left(x-4\right)+2\sqrt{\left(6-x\right)\left(x-4\right)}\)

\(=2+2\sqrt{\left(6-x\right)\left(x-4\right)}\)

\(\le2+\left(6-x\right)+\left(x-4\right)=4\) (BĐT AM-GM) 

\(\Rightarrow VP^2\le4\Rightarrow VP\le2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) ta có dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}x^2-10x+27=2\\\sqrt{6-x}+\sqrt{x-4}=2\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow x=5\)