Question

[Hồ Minh Thành]

Giải hpt

\(\hept{\begin{cases}\frac{3}{x^2+y^2-1}+\frac{2y}{x}=1\\x^2+y^2-\frac{2x}{y}=4\end{cases}}\)

Answer 1

[Vũ Tiến Manh]

Điều kiện x,y khác 0, x²+y² khác 1                   (1)

Từ phương trình thứ 2 ta có x²+y²-1=\(\frac{2x}{y}\)+3 thay vào phương trình 1 ta được

\(\frac{3}{\frac{2x}{y}+3}+\frac{2y}{x}\)=1 <=>\(\frac{3y}{2x+3y}+\frac{2y}{x}=1\)<=>\(\frac{3xy+4xy+6y^2}{\left(2x+3y\right)x}=1\)

<=>6y²+7xy=2x²+3xy <=>6y²+4xy-2x²=0 <=>2(x+y)(3y-x)=0 <=>x+y=0 hoặc 3y-x=0 <=>x=-y hoặc x=3y

thay vào phương trình 2 ta được

với x=-y ta có y²+y²+2=4 ,=>y²=1 <=>y=1;x=-1 hoặc y=-1;x=1 (thỏa mãn (1))

x=3y ta có 9y²+y²-6=4 <=>y²=1 (ta có 2 nghiêm như trên)

vậy pt có 2 nghiệm x=1;y=-1 hoặc x=-1;y=1

Answer 2

[Nyatmax]

\(DK:x,y\ne0\)

Dat \(\left(x^2+y^2;\frac{x}{y}\right)=\left(t;v\right)\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{3}{t-1}+\frac{2}{v}=1\left(1\right)\\t-2v=4\left(2\right)\end{cases}}\)

\(DK:\hept{\begin{cases}t>0\\t\ne1\\v\ne0\end{cases}}\)

PT(2)\(\Leftrightarrow v=\frac{t-4}{2}\)

Thay vao PT(1) ta duoc:

\(\frac{3}{t-1}+\frac{2}{\frac{t-4}{2}}=1\left(DK:t\ne4\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{3\left(t-4\right)+4\left(t-1\right)}{\left(t-1\right)\left(t-4\right)}=\frac{\left(t-1\right)\left(t-4\right)}{\left(t-1\right)\left(t-4\right)}\)

\(\Rightarrow7t-16=t^2-5t+4\)

\(\Leftrightarrow t^2-12t+20=0\)

\(\Leftrightarrow\left(t-10\right)\left(t-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t=10\\t=2\end{cases}}\)

Xet \(t=10\)ta duoc:

\(v=3\)

Voi \(v=3\)

\(\Leftrightarrow\frac{x}{y}=3\)

\(\Leftrightarrow x=3y\)

Thay \(x=3y\)vao PT \(x^2+y^2-\frac{2x}{y}=4\)ta duoc:

\(\Leftrightarrow10y^2-10=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=1\\y=-1\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=3\\x=-3\end{cases}}\)

Xet \(t=2\)ta duoc:

\(v=-1\)

Voi \(v=-1\)

\(\Leftrightarrow\frac{x}{y}=-1\)

\(\Leftrightarrow x=-y\)

Thay \(x=-y\)vao PT \(x^2+y^2-\frac{2x}{y}=4\)ta duoc:

\(2x^2-2=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=-1\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}y=-1\\y=1\end{cases}}\)

Vay nghiem cua HPT la \(\left(1;3\right),\left(-1;-3\right),\left(1;-1\right),\left(-1;1\right)\)