K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
1 tháng 3 2022
x-3y+4=360
nên x-3y=356
=>x=3y+356
Ta có: xy=360
nên y(3y+356)=360
\(\Leftrightarrow3y^2+356y-360=0\)
=>Bạn xem lại đề, nghiệm rất xấu
7 tháng 9 2021
3: Ta có: A=B|x-4|
\(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-5}:\dfrac{1}{\sqrt{x}-5}=\left|x-4\right|\)
\(\Leftrightarrow\left|x-4\right|=\sqrt{x}-2\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-4=\sqrt{x}-2\left(x\ge4;x\ne25\right)\\x-4=2-\sqrt{x}\left(0< x< 4\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-\sqrt{x}-2=0\\x+\sqrt{x}-6=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=4\left(nhận\right)\\x=4\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)
7 tháng 9 2021
1: Thay x=9 vào A, ta được:
\(A=\dfrac{3-2}{3-5}=\dfrac{-1}{-2}=\dfrac{1}{2}\)
2: Ta có: \(B=\dfrac{3}{\sqrt{x}+5}+\dfrac{20-2\sqrt{x}}{x-25}\)
\(=\dfrac{3\sqrt{x}-15+20-2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+5\right)\left(\sqrt{x}-5\right)}\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{x}-5}\)
18 tháng 11 2023
Đặt \(a=\dfrac{x}{2};b=\dfrac{y}{2};c=\dfrac{z}{2}\). Khi đó \(xyz=1\).
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
\(\sum\dfrac{1}{\sqrt{8x^3+1}}\ge1\)
Ta có: \(\sum\dfrac{1}{\sqrt{8x^3+1}}=\sum\sqrt{\dfrac{b^3c^3}{8+b^3c^3}}=\sum\dfrac{b^2c^2}{\sqrt{8bc+b^4c^4}}\ge\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{\sum\sqrt{8bc+b^4c^4}}=\dfrac{\sum b^2c^2+2\sum a}{\sum\sqrt{8bc+b^4c^4}}\ge\dfrac{\sum b^2c^2+6}{\sum\sqrt{8bc+b^4c^4}}\)
Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chứng minh được:
\(\sum b^2c^2+6\ge\sum\sqrt{8bc+b^4c^4}\left(\cdot\right)\)
Để ý rằng, nếu ta chứng minh được \(b^2c^2+2\ge\sqrt{8bc+b^4c^4}\left(1\right)\) thì ta sẽ chứng minh được (*).
Thật vậy, bằng phép biến đổi tương đương, ta có:
\(b^2c^2+2\ge\sqrt{8bc+b^4c^4}\)
\(\Leftrightarrow b^4c^4+4b^2c^2+4\ge8bc+b^4c^4\)
\(\Leftrightarrow4\left(bc-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng).
Vậy nhận xét (1) là đúng. Từ đây ta có điều phải chứng minh.
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=2\)
18 tháng 11 2023
Đặt \(A=\dfrac{1}{\sqrt{a^3+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{b^3+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{c^3+1}}\)
\(\sqrt{a^3+1}=\sqrt{\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)}\)
=>\(\sqrt{a^3+1}< =\dfrac{a+1+a^2-a+1}{2}=\dfrac{a^2+2}{2}\)
=>\(\dfrac{1}{\sqrt{a^3+1}}>=\dfrac{2}{a^2+2}\)
Chứng minh tương tự, ta được:
\(\sqrt{b^3+1}< =\dfrac{b^2+2}{2}\) và \(\sqrt{c^3+1}< =\dfrac{c^2+2}{2}\)
=>\(\dfrac{1}{\sqrt{b^3+1}}>=\dfrac{2}{b^2+2};\dfrac{1}{\sqrt{c^3+1}}>=\dfrac{2}{c^2+2}\)
=>\(\dfrac{1}{\sqrt{a^3+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{b^3+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{c^3+1}}>=\dfrac{2}{a^2+2}+\dfrac{2}{b^2+2}+\dfrac{2}{c^2+2}\)
=>\(A>=\dfrac{2}{a^2+2}+\dfrac{2}{b^2+2}+\dfrac{2}{c^2+2}\)
=>\(A>=\dfrac{2\left(b^2+2\right)\left(c^2+2\right)+2\left(a^2+2\right)\left(c^2+2\right)+2\left(b^2+2\right)\left(a^2+2\right)}{\left(a^2+2\right)\left(c^2+2\right)\left(b^2+2\right)}\)
=>\(A>=\dfrac{2\left(b^2c^2+2c^2+2b^2+4+a^2c^2+2a^2+2c^2+4+a^2b^2+2b^2+2a^2+4\right)}{\left(a^2+2\right)\left(b^2+2\right)\left(c^2+2\right)}\)
=>\(A>=\dfrac{2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)+8\left(a^2+b^2+c^2\right)+24}{\left(a^2+2\right)\left(b^2+2\right)\left(c^2+2\right)}\)
=>\(A>=\dfrac{2\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)+4\left(a^2+b^2+c^2\right)+24+4\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)+4\left(a^2+b^2+c^2\right)+8+8^2}\)(Vì abc=8)
Ta lại có: \(a^2+b^2+c^2>=3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=3\cdot\sqrt[3]{8^2}=12\)
=>\(4\left(a^2+b^2+c^2\right)>=48\)
=>\(A>=\dfrac{2\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)+4\left(a^2+b^2+c^2\right)+24+48}{2\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)+4\left(a^2+b^2+c^2\right)+8+64}\)
=>A>=1(ĐPCM)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
11 tháng 3 2022
\(\left(xy+3\right)^2+\left(x+y\right)^2=8\)
\(\Leftrightarrow x^2y^2+x^2+y^2+1=-8xy\)
\(\dfrac{x}{x^2+1}+\dfrac{y}{y^2+1}=-\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow\dfrac{\left(xy+1\right)\left(x+y\right)}{x^2y^2+x^2+y^2+1}=-\dfrac{1}{4}\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(xy+1\right)\left(x+y\right)}{-8xy}=-\dfrac{1}{4}\)
\(\Rightarrow\left(xy+1\right)\left(x+y\right)=2xy\)
\(\Rightarrow x+y=\dfrac{2xy}{xy+1}\)
Thế vào pt ban đầu:
\(\left(xy+3\right)^2+\left(\dfrac{2xy}{xy+1}\right)^2=8\)
Đặt \(xy+1=t\Rightarrow\left(t+2\right)^2+4\left(\dfrac{t-1}{t}\right)^2=8\)
\(\Rightarrow\left(t^2+2t\right)^2-4\left(t^2+2t\right)+4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(t^2+2t-2\right)^2=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=-1-\sqrt{3}\\t=-1+\sqrt{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}xy=-2-\sqrt{3}\Rightarrow x+y=1+\sqrt{3}\\xy=-2+\sqrt{3}\Rightarrow x+y=1-\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x;y\) là nghiệm của: \(\left[{}\begin{matrix}X^2-\left(1+\sqrt{3}\right)X-2-\sqrt{3}=0\\X^2-\left(1-\sqrt{3}\right)X-2+\sqrt{3}=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow...\)
29 tháng 6 2021
Đề sai rồi vì `P>0AAx>=0,x ne 1/2` mà phải tìm để `P<=0` nên nhất thiết mẫu là `2sqrtx-1` mặt khác còn lý do nữa là `x ne 1/2` mà không phải là `1/4` nên mình vẫn băn khoăn nhưng lý do đầu có vẻ thuyết phục hơn và sửa lại là `x ne 1/4` nhé!
`|P|>=P`
Mà `|P|>=0`
`=>P<=0`
`<=>(sqrtx+2)/(2sqrtx-1)<=0`
Mà `sqrtx+2>=2>0AAx>=0`
`<=>2sqrtx-1<0`
`<=>2sqrtx<1`
`<=>sqrtx<1/2`
`<=>x<1/4`
Vậy với `0<=x<1/4` thì `|P|>=P.`
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
28 tháng 8 2021
19.
\(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)=4\Rightarrow-2\le a+b\le2\)
\(P=3\left(a+b\right)+ab=3\left(a+b\right)+\dfrac{\left(a+b\right)^2-\left(a^2+b^2\right)}{2}=\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2+3\left(a+b\right)-1\)
Đặt \(a+b=x\Rightarrow-2\le x\le2\)
\(P=\dfrac{1}{2}x^2+3x-1=\dfrac{1}{2}\left(x+2\right)\left(x+4\right)-5\ge-5\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=-2\) hay \(a=b=-1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
28 tháng 8 2021
20.
Đặt \(P=2a+2ab+abc\)
\(P=2a+ab\left(2+c\right)\le2a+\dfrac{a}{4}\left(b+2+c\right)^2=2a+\dfrac{a}{4}\left(7-a\right)^2\)
\(P\le\dfrac{1}{4}\left(a^3-14a^2+57a-72\right)+18=18-\dfrac{1}{4}\left(8-a\right)\left(a-3\right)^2\le18\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(3;2;0\right)\)
\(\left\{{}\begin{matrix}3x+ay=5\\2x+y=b\end{matrix}\right.\)
a) Để hpt có nghiệm duy nhất thì:
\(\dfrac{3}{2}\ne\dfrac{a}{1}\\ \Leftrightarrow a\ne\dfrac{3}{2}\)
b) Để hpt vô nghiệm thì:
\(\dfrac{3}{2}=\dfrac{a}{1}\ne\dfrac{5}{b}\\ < =>\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{3}{2}\\\dfrac{3}{2}\ne\dfrac{5}{b}\end{matrix}\right.\\ < =>\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{3}{2}\\b\ne\dfrac{10}{3}\end{matrix}\right.\)
c) Để hpt vô số nghiệm thì:
\(\dfrac{3}{2}=\dfrac{a}{1}=\dfrac{5}{b}\\ =>\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{3}{2}\\\dfrac{5}{b}=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\\ < =>\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{3}{2}\\b=\dfrac{10}{3}\end{matrix}\right.\)