Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\left\{{}\begin{matrix}x^3+y^2=2y\left(1\right)\\y^3+x^2=2x\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Lấy (1)-(2), ta được:
\(x^3-y^3-\left(x^2-y^2\right)+2\left(x-y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2-x-y+2\right)=0\)
*Với \(x=y\). Từ (1) ta có: \(x^3+x^2-2x=0\)
Giải ra ta được: \(\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=1\\x=-2\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=0\\y=1\\y=-2\end{matrix}\right.\)
*Với \(x^2+xy+y^2=x+y-2\). Đặt \(S=x+y;P=xy\).
Khi đó ta có: \(S^2-S+2=P\left(1'\right)\)
Lấy (1)+(2) ta được:
\(x^3+y^3+x^2+y^2=2\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow S^3-3SP+S^2-2P=2S\left(2'\right)\)
Thay (1') vào (2'), ta được:
\(S^3-3S\left(S^2-S+2\right)+S^2-2\left(S^2-S+2\right)=2S\)
\(\Leftrightarrow-2S^3+2S^2-6S-4=0\)
\(\Leftrightarrow S^3-S^2+3S+2=0\)
Đến đây mình bấm máy và nó ra nghiệm xấu ;)) bạn thử kiểm tra lại cách rút gọn của mình xem có gì sai sót nhé. Từ đây ta tìm được S, rồi tìm được P và sử dụng định lí Viète đảo để tính x,y nhé.
Bài 1:
Đặt $\sqrt[4]{y^3-1}=a; \sqrt{x}=b$ $(a,b\geq 0$)
Khi đó hệ PT trở thành:
\(\left\{\begin{matrix} a+b=3\\ b^4+a^4+1=82\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=3\\ a^4+b^4=81\end{matrix}\right.\)
Có: \(a^4+b^4=81\)
\(\Leftrightarrow (a^2+b^2)^2-2a^2b^2=81\)
\(\Leftrightarrow [(a+b)^2-2ab]^2-2a^2b^2=81\)
\(\Leftrightarrow (9-2ab)^2-2a^2b^2=81\)
\(\Leftrightarrow 2a^2b^2-36ab=0\)
\(\Leftrightarrow ab(ab-18)=0\Rightarrow \left[\begin{matrix} ab=0\\ ab=18\end{matrix}\right.\)
Nếu $ab=0$. Kết hợp với $a+b=3$ suy ra $(a,b)=(3,0); (0,3)$
$\Rightarrow (x,y)=(0, \sqrt[4]{82}); (9, 1)$
Nếu $ab=18$. Kết hợp với $a+b=3$ và định lý Vi-et đảo suy ra $a,b$ là nghiệm của pt: $X^2-3X+18=0$
Dễ thấy pt này vô nghiệm nên loại
Vậy......
Bài 2:
ĐK: ..........
Đặt $\sqrt{x+\frac{1}{y}}=a; \sqrt{x+y-3}=b$ $(a,b\geq 0$)
HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=3\\ a^2+b^2+3=8\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=3\\ a^2+b^2=5\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=3\\ (a+b)^2-2ab=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=3\\ ab=2\end{matrix}\right.\)
Áp dụng định lý Vi-et đảo thì $a,b$ là nghiệm của pt $X^2-3X+2=0$
$\Rightarrow (a,b)=(2,1); (1,2)$
Nếu $(a,b)=(2,1)$
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{y}=4\\ x+y-3=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{y}=4\\ x+y=4\end{matrix}\right.\Rightarrow y=\frac{1}{y}\Rightarrow y=\pm 1\)
$y=1\rightarrow x=3$
$y=-1\rightarrow y=5$
Nếu $(a,b)=(1,2)$
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{y}=1\\ x+y-3=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{y}=1\\ x+y=7\end{matrix}\right.\Rightarrow y-\frac{1}{y}=6\)
\(\Rightarrow y^2-6y-1=0\Rightarrow y=3\pm \sqrt{10}\)
Nếu $y=3+\sqrt{10}\rightarrow x=4-\sqrt{10}$
Nếu $y=3-\sqrt{10}\rightarrow x=4+\sqrt{10}$
Vậy...........
Lời giải:
HPT tương đương:
\(\left\{\begin{matrix} 2x^2y=y^2+1\\ 2xy^2=x^2+1\end{matrix}\right.\)
Trừ hai pt cho nhau thì:
$2xy(x-y)+x^2-y^2=0$
$\Leftrightarrow 2xy(x-y)+(x-y)(x+y)=0$
$\Leftrightarrow (x-y)(2xy+x+y)=0$
$\Leftrightarrow x-y=0$ hoặc $2xy+x+y=0$
Nếu $x-y=0\Leftrightarrow x=y$. Thay vào pt (1):
$2x^2=x+\frac{1}{x}$
$\Rightarrow 2x^3=x^2+1$
$\Leftrightarrow (x-1)(2x^2+x+1)=0$
Đến đấy thì đơn giản rồi.
Nếu $2xy+x+y=0$:
Từ $2x^2=y+\frac{1}{y}=\frac{y^2+1}{y}$
Mà $2x^2>0; y^2+1>0$ với mọi $x,y\neq 0$ nên $y>0$
Tương tự $x>0$
$\Rightarrow 2xy+x+y>0$. Do đó TH này loại
Vậy...........
ĐKXĐ: ...
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2-1=a\\\frac{y}{x}=b\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{3}{a}+2b=1\\a-\frac{2}{b}=3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{3}{a}+2b=1\\a=\frac{3b+2}{b}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\frac{3b}{3b+2}+2b-1=0\Leftrightarrow3b+\left(2b-1\right)\left(3b+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow6b^2+4b-2=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}b=-1\\b=\frac{1}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-y\\x=3y\end{matrix}\right.\)
Với \(x=-y\) thay vào pt dưới: \(y^2+y^2+2=4\Rightarrow\)
Với \(x=3y\) thay vào pt dưới: \(9y^2+y^2-6=4\Rightarrow...\)
ĐKXĐ: \(x;y\ne\pm1\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-xy^2=2y\\y-x^2y=2x\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x-y+xy\left(x-y\right)+2\left(x-y\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(x-y\right)\left(1-xy+2\right)=0\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x-y=0\\xy=3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y\\y=\frac{3}{x}\end{matrix}\right.\) (
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x-x^3=2x\\x-x\left(\frac{3}{x}\right)^2=\frac{6}{x}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x\left(x^2+1\right)=0\\x^2=15\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow...\)
ĐKXĐ: ...
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x^2y=y^2+1\\2xy^2=x^2+1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\frac{x}{y}=\frac{y^2+1}{x^2+1}\)
\(\Leftrightarrow x^3+x=y^3+y\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+y^2-xy\right)+\left(x-y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(\left(x^2-\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}+1\right)=0\)
\(\Rightarrow x=y\)
\(\Rightarrow2x^3=x^2+1\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(2x^2+x+1\right)=0\)
\(\Rightarrow x=1\Rightarrow y=1\)