Question

[Phúc Hồ Thị Ngọc]

Giả sử a,b là nghiệm của phương trình \(x^2+px+1=0\) và c,d là nghiệm của phương trình \(x^2+qx+1=0\). Hãy chứng minh hệ thức 

\(\left(a-c\right)\left(b-c\right)\left(a+d\right)\left(b+d\right)=q^2-p^2\)

Answer 1

[Trịnh Quang Hùng]

Theo hệ thức Vi-ét ta có: 

(1)   a+b=-p   và    ab=1        

(2)   c+d=-q   và    cd=1

Biến đổi vế trái VT= [(a-c)(b+d)][(b-c)(a+d)]=(ab+ad-bc-cd)(ab-cd-ac+bd)=(ad-bc)(bd-ac)=abd²-a²cd-b²cd+c²ab=d²-a²-b²+c²

mà q²-p²=(c+d)²-(a+b)²=c²+d²+2cd-a²-b²-2ab=d²-a²-b²+c²

Nên VT=VP