Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
2) Ta có đẳng thức sau: \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\)
Chứng minh thì bạn chỉ cần bung 2 vế ra là được.
\(\Rightarrow P=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-2abc\)
Do \(a+b+c⋮4\) nên ta chỉ cần chứng minh \(abc⋮2\) là xong. Thật vậy, nếu cả 3 số a, b,c đều không chia hết cho 2 thì \(a+b+c\) lẻ, vô lí vì \(a+b+c⋮4\). Do đó 1 trong 3 số a, b, c phải chia hết cho 2, suy ra \(abc⋮2\).
Do đó \(P⋮4\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a) Ta có f(x) - 5 \(⋮\)x + 1
=> x3 + mx2 + nx + 2 - 5 \(⋮\)x + 1
=> x3 + mx2 + nx - 3 \(⋮\)x + 1
=> x = - 1 là nghiệm đa thức
Khi đó (-1)3 + m(-1)2 + n(-1) - 3 = 0
<=> m - n = 4 (1)
Tương tự ta được f(x) - 8 \(⋮\)x + 2
=> x3 + mx2 + nx - 6 \(⋮\) x + 2
=> x = -2 là nghiệm đa thức
=> (-2)3 + m(-2)2 + n(-2) - 6 = 0
<=> 2m - n = 7 (2)
Từ (1)(2) => HPT \(\left\{{}\begin{matrix}m-n=4\\2m-n=7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=3\\n=-1\end{matrix}\right.\)
Vậy đa thức đó là f(x) = x3 + 3x2 - x + 2
b) f(x) - 7 \(⋮\)x + 1
=> x3 + mx + n - 7 \(⋮\) x + 1
=> x = -1 là nghiệm đa thức
=> (-1)3 + m(-1) + n - 7 = 0
<=> -m + n = 8 (1)
Tương tự ta được : x3 + mx + n + 5 \(⋮\)x - 3
=> x = 3 là nghiệm đa thức
=> 33 + 3m + n + 5 = 0
<=> 3m + n = -32 (2)
Từ (1)(2) => HPT : \(\left\{{}\begin{matrix}3m+n=-32\\-m+n=8\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4m=-40\\-m+n=8\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=-10\\n=-2\end{matrix}\right.\)
Vậy f(x) = x3 - 10x -2
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Lời giải:
Theo định lý Bê-du về phép chia đa thức, số dư của $P(x)$ khi chia $2x-5$ là $P(\frac{5}{2})=\frac{5}{4}(\frac{5}{2})^3+\frac{5}{6}(\frac{5}{2})^2-\frac{21}{4}.\frac{5}{2}+\frac{1}{6}=\frac{377}{32}$
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(f\left(x\right)=6x^3-7x^2-16x+m\)
Do \(f\left(x\right)\) chia hết \(2x-5\), theo định lý Bezout:
\(f\left(\dfrac{5}{2}\right)=0\Rightarrow6.\left(\dfrac{5}{2}\right)^3-7.\left(\dfrac{5}{2}\right)^2-16.\left(\dfrac{5}{2}\right)+m=0\)
\(\Rightarrow m=-10\)
Khi đó \(f\left(x\right)=6x^3-7x^2-16x-10\)
Số dư phép chia cho \(3x-2\):
\(f\left(\dfrac{2}{3}\right)=6.\left(\dfrac{2}{3}\right)^3-7.\left(\dfrac{2}{3}\right)^2-16.\left(\dfrac{2}{3}\right)-10=-22\)
Do chia hết , theo định lý Bezout:
Khi đó
Số dư phép chia cho :
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(f\left(x\right):\left(x-a\right)\) dư r1
\(\Leftrightarrow f\left(x\right)=\left(x-a\right)\cdot a\left(x\right)+r_1\\ \Leftrightarrow f\left(a\right)=r_1\)
Vì \(\left(x-a\right)\left(x-b\right)\) là đa thức bậc 2 nên có dư bậc 1
Gọi dư của \(f\left(x\right):\left(x-a\right)\left(x-b\right)\) là \(cx+d\)
\(\Leftrightarrow f\left(x\right)=\left(x-a\right)\left(x-b\right)\cdot c\left(x\right)+cx+d\\ \Leftrightarrow f\left(a\right)=ac+d=r_1\left(1\right)\\ f\left(x\right)=\left(x-a\right)\left(x-b\right)\cdot c\left(x\right)+cx+d\\ =\left(x-a\right)\left(x-b\right)\cdot c\left(x\right)+c\left(x-b\right)+bc+d\\ =\left(x-b\right)\left[\left(x-a\right)\cdot c\left(x\right)+c\right]+bc+d\)
Vì \(f\left(x\right):\left(x-b\right)\) dư r2 nên \(bc+d=r_2\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\left(2\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}bc+d=r_2\\ac+d=r_1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}c\left(a-b\right)=r_1-r_2\\ac+d=r_1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=\dfrac{r_1-r_2}{a-b}\\d=r_1-\dfrac{a\left(r_1-r_2\right)}{a-b}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=\dfrac{r_1-r_2}{a-b}\\d=\dfrac{ar_2-br_1}{a-b}\end{matrix}\right.\)
Vậy đa thức dư là \(\dfrac{r_1-r_2}{a-b}x+\dfrac{ar_2-br_1}{a-b}\)
Bạn vào đây xem thử
Câu hỏi của bababa ânnnanana - Toán lớp 8 | Học trực tuyến