Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
BĐT cần CM tương đương với:
\(\left[\frac{(a+b)(1-ab)}{(a^2+1)(b^2+1)}\right]^2\leq \frac{1}{4}\)
Đặt $a+b=x; ab=y$ thì BĐT \(\Leftrightarrow \left(\frac{x(1-y)}{y^2+x^2-2y+1}\right)^2=\left(\frac{x(y-1)}{x^2+(y-1)^2}\right)^2\leq \frac{1}{4}\)
Điều này luôn đúng vì theo BĐT AM-GM:
\([x^2+(y-1)^2]^2=x^4+(y-1)^4+2x^2(y-1)^2\geq 2x^2(y-1)^2+2x^2(y-1)^2=[2x(y-1)]^2\)
\(\Rightarrow \frac{[x(y-1)]^2}{[x^2+(y-1)^2]^2}\leq \frac{[x(y-1)]^2}{[2x(y-1)]^2}=\frac{1}{4}\)
cho mình xin đề bài với cho hỏi tại sao có
\(\left(a-b\right)^2\left(17a^2+10ab+9b^2\right)\ge0\)
để suy ra \(\sqrt{2a\left(a+b\right)^3}\le\frac{5}{2}a^2+\frac{3}{2}b^2\)
#Thắng: hình như là Ireland MO 2000 hay 2002 j đó , nãy vừa thấy trên fb <(")
Bình phương 2 vế em nhé, GTTĐ bình phương thì âm hay dương nó cx như nhau
\(\left|a+b\right|\le\left|a\right|+\left|b\right|\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\le\left(\left|a\right|+\left|b\right|\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\le a^2+2\left|ab\right|+b^2\)