Question

[Ác Mộng]

CMR:B=\(\sqrt{444...4+111...1+1}\) nguyên có 2m chữ số 4,  m chữ số 1(m thuộc N)

Answer 1

[Trần Đức Thắng]

m = 1 thì \(\sqrt{44+1+1}=\sqrt{46}\)

Không phải số nguyên 

Answer 2

[Trần Thị Loan]

Đề sai: Ví dụ m = 1 => B = \(\sqrt{46}\) không là số nguyên

Sửa đề: B = \(\sqrt{444...4+444...4+1}\)

B² = 444....4 + 444....4 + 1 

Đặt k = 111...1 (m chữ số 1 ) => 9k = 999..9 (m chữ số 9 ) = 10^m - 1 => 10^m  = 9k + 1

Ta có : 999...9 (2m chữ số 9 ) = 9 x 111....1 (2m chữ số ) = 10^2m - 1

=> 111..1 (2m chữ số 1) = \(\frac{10^{2m}-1}{9}\)=> 444...4 (2m chữ số 4 ) =  \(\frac{4.\left(10^{2m}-1\right)}{9}=\frac{4.\left(\left(9k+1\right)^2-1\right)}{9}=\frac{4}{9}.\left(81k^2+18k\right)=36k^2+8k\)

Ta có: B² = 36k² + 8k + 4.k + 1 = 36k² +  12 k + 1 = (6k + 1)² => B = 6k + 1 là số nguyên => đpcm